Равносильности, выражающие связи между логическими операциями

1. 4. .

2. . 5. .

3. 6.

Данные формулы позволяют заменить высказывание ему равносильным.

Например, дано истинное высказывание «если число кратно 8, то оно кратно 2».

Тогда по формуле 2 его можно сформулировать и так: «число не кратно 8 или кратно 2».

По формуле 3 оно будет равносильно высказыванию «если число не кратно 2, то оно и не кратно 8»

Формулы 4 – 6 позволяют сформулировать отрицания составных высказываний.

Формула 4 помогает построить отрицание дизъюнкции двух высказываний:.

Например, дана дизъюнкция двух высказываний: число 8 кратно 2 или число 5 кратно 2 (коротко: одно из чисел 8 или 5 кратно 2). Оно истинно. Отрицанием этого высказывания является высказывание: число 8 не кратно 2 и число 5 не кратно 2. Это высказывание ложно.

Формула 5 помогает построить отрицание конъюнкции двух высказываний.

Например, дана конъюнкция двух высказываний: число 8 кратно 2 и число 5 кратно 2 (коротко: числа 8 и 5 кратны 2). Оно ложно. Отрицанием этого высказывания является высказывание: число 8 не кратно 2 или число 5 не кратно 2. Это высказывание истинно.

Формула 6 помогает построить отрицание импликации двух высказываний.

Например, дана конъюнкция двух высказываний: если число 8 кратно 2, то число 5 кратно 2. Оно ложно, так как условие истинно, а заключение ложно. Отрицанием этого высказывания является высказывание: число 8 кратно 2 и число 5 не кратно 2. Это высказывание истинно.

Если рассмотрим конъюнкцию двух высказываний: если число 5 кратно 2, то число 8 кратно 2. Оно истинно, так как условие ложно, а заключение истинно. Отрицанием этого высказывания является высказывание: число 5 кратно 2 и число 8 не кратно 2. Это высказывание ложно.

Суждения, категоричные суждения

Наиболее распространенными и лучше всего изученными являются так называемые суждения свойств, или категорические. В них указывается принадлежность (или не принадлежность) предметам тех или иных свойств: "Зимой идет снег", "Некоторые газеты не являются ежедневными", "Часть людей имеет меланхолический темперамент", "Таможни относятся к государственным учреждениям".

Наряду с ними имеются также суждения отношений, или релятивные: "Киев древнее Москвы", "Десять больше семи", "Каренин любит Анну". Их отличительная особенность состоит в том, что отмечаемое ими свойство нельзя отнести к одному объекту. Оно возникает из взаимодействия двух, а то и большего их числа, называемых релятами. Для записи таких суждений часто используется символическая форма: aRb, где a и b обозначают реляты - предметы, связанные отношением.

Суждения отношений делятся на транзитивные и не транзитивные, симметричные и несимметричные, рефлексивные и нерефлексивные, а также некоторые другие. Транзитивными являются те, у которых отношения могут переноситься на другие пары. Так, если Киев древнее Москвы, а Москва древнее Костромы, то тогда правильно будет утверждать: Киев древнее Костромы. Можно это выразить и с помощью символов: если aRb и bRc, то тогда aRc. С отношением же "любить" такой перенос недопустим (если Каренин любит Анну, а Анна любит Вронского, то отсюда ни в коем случае не следует, будто Каренин любит Вронского). Следовательно, первое отношение транзитивно, второе нет. Симметричность выражается в возможности менять реляты местами: aRb = bRa. Если, скажем, треугольник A подобен треугольнику B, то тогда и треугольник B подобен треугольнику A. При несимметричных отношениях такая перестановка приведет к ошибкам, как это легко увидеть на примере суждения: "Потемкин - фаворит Екатерины II".

Рефлексивность имеет место тогда, когда сохраняет смысл запись aRa. Такие отношения, как можно догадаться из этой записи, могут быть приложимы и к самому себе тоже. Например, во многих случаях защищать кого-то означает одновременно защищать себя, а равенство одной величины другой означает и равенство самой себе. Отношения, соединяющие в себе транзитивность, симметричность и рефлексивность, называют отношениями типа равенства.

Формально релятивные суждения можно считать обычными категорическими суждениями, если рассматривать отношение как свойство одной из сторон. Но только для этого суждение лучше всего переформулировать, чтобы было отчетливо видно, к какой из двух сторон относят выраженное в суждении свойство. Так, релятивное суждение "Каренин любит Анну" можно переделать в категорическое двумя способами: "Каренин является тем, кто любит Анну" и "Анна любима Карениным".

Еще одну группу образуют суждения существования, с помощью которых отмечается наличие (или отсутствие) в действительности тех или иных явлений: "Существуют различные философские школы", "Не существует 31 апреля".

Однако в рамках традиционной логики и с суждениями существования тоже можно обращаться как с обычными категорическими суждениями, рассматривая существование в качестве разновидности свойства, которое приписывается каким-то явлениям или отрицается у них.

Таким образом, большинство суждений можно представить в виде категорического суждения, не подчеркивая этого специально.

Структура суждения

В содержании суждения прежде всего имеются два важнейших компонента - субъект и предикат. Субъект - это понятие, отображающее предмет, о котором идет речь. Его можно было бы также назвать логическим подлежащим, так как в функциях того и другого много сходного. Для обозначения субъекта используется латинская буква S. Предикат же можно уподобить логическому сказуемому, поскольку этот структурный элемент выражает свойства, приписываемые предметам из объема понятия–субъекта или отрицаемые у них. Обозначают предикат латинской P.

В отличие от предложения все содержание суждения распределяется только между двумя составными частями - субъектом и предикатом. У предложения структурных элементов бывает больше.

Еще одна ступень упрощения мысли в суждении состоит в том, что оно не передает так называемое логическое ударение. Так, в суждение "Студент сдал зачет по логике" можно вложить до некоторой степени различный смысл, если интонационно выделить в нем разные слова:

Студент сдал зачет по логике

Студент сдал зачет по логике

Студент сдал зачет по логике

Студент сдал зачет по логике

Помимо субъекта и предиката в составе суждения имеются еще два структурных элемента, которые, однако, задают логические свойства самих суждений как форм мышления, а не их содержание. Один из них - связка. Она обозначается словами "есть", "является", "представляет собой" и другими эквивалентными им выражениями.

Без связки суждения не бывает, потому что без нее нельзя было бы задать отношение между предметом и его свойством - принадлежит оно предмету или не принадлежит. Совокупность особенностей суждения, выражаемых в нем этим его структурным элементом, называют качеством суждения: когда свойство, отмечаемое в предикате, приписывается субъекту, оно утвердительное, когда же отмечается его отсутствие, - отрицательное. "Некоторые пошлины взимаются с цены товара" - утвердительное суждение; оно приписывает части пошлин свойство быть взимаемыми с цены. "Прокурор не имеет права быть адвокатом" - отрицательное, отрицает у прокуроров свойство быть адвокатом.

Последний структурный компонент суждения - квантор. Он выражается словами "все", "каждый", "всякий", "никакой", "некоторый", "большинство", "отчасти", "почти все" и пр. (в русском языке и квантор тоже может опускаться). Он служит для указания количественной характеристики суждения - общее оно или частное. Если понятие, стоящее на месте субъекта, берется во всем объеме, то суждение общее. "Все млекопитающие - позвоночные", "Оранжерея - помещение для выращивания растений" (подразумевается, как легко догадаться, всякая оранжерея) - примеры общих суждений. В том случае, когда говорится о части объема понятия-субъекта, тогда перед нами частное суждение. Примером таковых могут быть: "Некоторые товары ввозятся контрабандным путем", "Большинство психических актов протекает бессознательно".

Правда, по количеству можно выделить еще одну категорию - единичные суждения, у которых в качестве субъекта берется единичное понятие: "Данная заметка уже опубликована", "Кутузов не командовал русской армией в 1812 году до начала августа". По своим логическим свойствам единичные суждения относятся, однако, к суждениям общим. Хотя их содержанием действительно являются отдельные частные явления, события или лица, тем не менее, для определения их количества решающее значение имеет то, что в суждении такого рода всегда охватывается весь объем понятия-субъекта.

Объединенная классификация категоричных суждений

Общеутвердительное суждение. Всем предметам приписывается какое-то свойство. Оно, следовательно, является общим по количеству и утвердительным по качеству.

Структура такого суждения - "Все S есть P".

Их принято обозначать первой гласной буквой латинского affirmo (утверждаю). A (a).

Краткая запись: S a P. Читается: все S есть P.

Если изобразить соотношение понятий, входящих в это суждение, круговыми схемами, то общеутвердительному суждению, как правило, соответствует рисунок, данный ниже. В нем все S входят в объем понятия P (отношение подчинения).

рис. 1

Общеотрицательное суждение. Этот вид суждения является общим по количеству и отрицательным по качеству - у всех предметов отрицается какое-либо свойство. Например, 1) "Никакая параллель не пересекает экватор", 2) "Дельфин не рыба", 3) "Всякая война не обходится без жертв" - примеры таких суждений.

Структура такого суждения: все (никакое) S не есть P.

Их обозначают первой гласной из латинского nego (отрицаю) - E (e).

Краткая запись: S e P. Читается: все (никакое) S не есть P.

рис.2

Частноутвердительное суждение образуется тогда, когда берется высказывание, частное по количеству и утвердительное по качеству, стало быть, части предметов приписывается какое-то свойство. Например, 1) "Некоторые студенты изучают китайский язык", 2) "Большинство учебников не являются задачниками", 3) "Преступники порой избегают наказания".

Структура суждения: некоторые S есть P

Обозначают второй гласной буквой слова affirmo (утверждаю) - I (i),

Краткая запись: S i P. Читается: некоторые S есть P.

Частноутвердительным суждениям соответствуют две круговые схемы (рис. 3). Чаще всего S и P являются перекрещивающимися понятиями, поэтому круги, отображающие объемы субъекта и предиката пересекаются. Так, круг лиц, называемых студентами, лишь частично накладывается на круг лиц, которые изучают китайский язык; и в первой и второй категории людей есть такие, кто принадлежит только к одной из них и не принадлежит к другой. Учебники же и задачники находятся в отношении подчинения (хотя лишь некоторые учебники - задачники, но все задачники являются учебниками, поэтому круг для P полностью входит в круг для S).

рис.3

Частноотрицательное суждение, как легко понять по аналогии с предыдущими, является частным по количеству и отрицательным по качеству. Например, 1) "Некоторые законы не имеют обратной силы", 2) "Большинство музыкантов не скрипачи", 3) "Иные из бабочек не являются однодневками", 4) "По меньшей мере, часть грибов не относят к высшим растениям".

Структура суждения: некоторые S не есть P.

Их обозначают второй гласной буквой слова nego (отрицаю) - O (o).

Краткая запись: S o P. Читается: некоторые S не есть P.

Соотношение по объему может изображаться тремя вариантами, показанными на рисунке

рис.4

Используя круговые схемы, надо помнить, что, строго говоря, содержание понятий задается только определением, а оно чаще всего лишь подразумевается и иногда может быть истолковано неодинаково.

Следует твердо помнить, что, определяя вид суждения по объединенной классификации, мы должны принимать во внимание только то, что в нем говорится, а не отображаемую в нем действительность. Между ними может не быть совпадения, поскольку встречаются высказывания также и ложные. Например, суждение "Утка - домашняя птица" является, очевидно, общеутвердительным и ему соответствует круговая схема рис. 3 (все утки входят в круг домашних птиц). В действительности же их следует изображать, как легко понять, пересекающимися, ведь некоторые из уток являются дикими и, следовательно, не входят в число домашних птиц. Тем не менее, в дальнейшем анализе данное суждение все равно должно остаться для нас общеутвердительным по своим логическим свойствам и его надо будет изображать кругами для подчиненных понятий, но только при этом придется помнить, что мысль, содержащаяся в этом суждении, является ложной.

ОТРИЦАНИЕ ПРЕДЛОЖЕНИЙ С КВАНТОРАМИ.

Известно, что часто для отрицания некоторого предложения достаточно предпослать сказуемому этого предложения отрицательную частицу “не”. Но это правило не относится к суждениям с высказываниями.

Предложения “Все птицы летают ” и “Все птицы не летают ” не являются отрицаниями друг друга, т. к. они оба ложны. Предложения “ Некоторые птицы летают ” и “ Некоторые птицы не летают ” не являются отрицанием друг друга, т. к. они оба истинны. Таким образом, предложения, полученные добавлением частицы “не” к сказуемому предложений “Все S суть Р” и “Некоторые S суть Р” не являются отрицаниями этих предложений.

Универсальным способом построения отрицания является добавление словосочетания “неверно, что” в начале предложения. Таким образом, отрицанием предложения “Все птицы летают” является предложение “Неверно, что все птицы летают”; но это предложение имеет тот же смысл, что и предложение “Некоторые птицы не летают”. Отрицанием предложения “Некоторые птицы летают” является предложение “Неверно, что некоторые птицы летают”, которое имеет тот же смысл, что и предложение “Все птицы не летают”.

Таким образом, мы получили

А) Отрицание высказывания “Все S суть Р” имеют тот же смысл, что и высказывание “Некоторые S не есть Р”.

Б) Отрицание высказывания “Некоторые S есть Р” имеет тот же смысл, что и высказывание “Ни одно S не есть Р”.

Отсюда получаем правило построения высказываний с квантором:

Для того чтобы построить отрицание высказывания, начинающегося с квантора всеобщности (существования), нужно заменить его квантором существования (всеобщности) и построить отрицание предложения, стоящего после квантора.

Например: отрицанием ложного высказывания «любое натуральное число кратно 5» будет истинное высказывание «существует натуральное число, не кратное 5». Отрицанием истинного высказывания «некоторые однозначные числа четные» будет истинное высказывание «все однозначные числа четные».

Построить отрицания:

1) в кино пойдет Коля или Петя;

2) Коля и Петя пойдут в кино

3) е сли пойдет дождь, Коля останется дома;

4) Коля решит задачу, если он вспомнит нужную теорему;

ДРУГИЕ ВИДЫ ВЫСКАЗЫВАНИЙ

Следует сказать хотя бы несколько слов о других типах — как простых, так и сложных — высказываний, изучаемых логикой.

Выше мы рассматривали суждения, которые просто констатировали, что между субъектом и предикатом некоторого суждения или между двумя суждениями имеется какая-то связь, никак не оценивая этой связи.

Наряду с ними в наш язык входят суждения, так или иначе оценивающие характер утверждаемой связи. Их называют модальными. Примеры: “Возможно, что существуют внеземные цивилизации”, “Необходимо, что все тела падают на землю”, “Случайно, что вчера шел дождь” и т.п. Слова, стоящие перед суждением и оценивающие характер выражаемой им связи - “возможно”, “необходимо”, “случайно” — и называются модальными словами или модальными операторами. Логика описывает различные модальности и выявляет логические связи между модальными высказываниями.

Большой интерес современной логики вызывают контрфактические высказывания - условные высказывания, выраженные в сослагательном наклонении, например: “Если бы в XIII в. русские князья были сплочены, они отразили бы татаро-монгольское нашествие”; “Если бы я был Наполеоном, то уж я-то не проиграл бы битву при Ватерлоо” и т.п.

Интерес к такого рода высказываниям обусловлен многими обстоятельствами. Во-первых, не ясно, каким должно быть их формальное представление. Если мы попытаемся представить эти высказывания в виде обычной импликации “а -> Ь”, то сразу же получится, что все контрфактические высказывания истинны: импликация истинна, если ее первый член ложен, а в контрфактическом высказывании этот член всегда ложен, следовательно, все контрфактические высказывания при такой формализации следует признать истинными. Вряд ли с этим можно согласиться, поэтому до сих пор продолжаются поиски адекватной формализации таких высказываний.

В современной логике принято различать аналитические и синтетические суждения. Впервые это разделение было осуществлено великим немецким философом И. Кантом (1724-1804). Аналитическим Кант называл такое суждение, предикат которого уже входит в содержание субъекта и, таким образом, ничего не добавляет к тому, что мы знали о субъекте. Например, суждение “Всякий холостяк неженат” является аналитическим, так как признак “быть неженатым” уже мыслится в содержании понятия “холостяк”. “Всякое тело протяженно”, “Москвичи живут в Москве” - все это аналитические суждения. Синтетическим является такое суждение, предикат которого добавляет что-то новое к содержанию субъекта, например: “Алмаз горюч”, “Тихий океан - самый большой из океанов Земли” и т.п. Считается, что только синтетические суждения выражают новое знание, аналитические же представляют собой тавтологии, не содержащие никакой информации.

Различие между аналитическими и синтетическими высказываниями не является строгим и четким, ибо наши понятия в процессе развития познания изменяют свое содержание, включают в него новые признаки, а это приводит к тому, что какие-то синтетические высказывания становятся аналитическими. Имеется немало других видов суждений, логический анализ которых сталкивается с интересными и сложными проблемами, но, по-видимому, еще больше любопытных суждений, используемых нами в повседневных разговорах и профессиональных рассуждениях, остаются пока за пределами логического анализа.