Расчет статически неопределимых ферм

Практически все фермы из-за наличия жесткости в узловых соединениях являются статически неопределимыми конструкциями. Возможность пренебрежения жесткостью узлов при рас­чете ферм практически допустима. В настоящем параграфе фермы рассматриваются как шар­нирно-стержневые системы.

Применяемые в кранах фермы могут быть как вну­тренне, так и внешне стати­чески неопределимыми, а также одновременно статиче­ски неопределимыми — и внешне, и внутренне.

На рис. 5.10, а показана опора верхнего строения крана, которая из-за затяж­ки между нижними опорами является один раз внутренне статически неопределимой.

Рисунок 5.10. – Расчетные схемы опор крана

За основную систему следует принять конструкцию без затяжки с единичной силой Х₁ в направлении затяжки. Тогда канони­ческое уравнение будет иметь вид

где δ₁₁ и Δ_1Р определяются по формуле Мора (5.1) для стержней ферм, которые работают только на сжатие и растяжение.

Удлинение за­тяжки от единичной силы X₁

δ₃₁ = l₃ / ЕF₃,

где l₃ и F₃ — длина и площадь поперечного сечения затяжки.

Отсюда неизвестное усилие

(5.2)

где N_i1 и N_iP - усилия в стержнях фермы (основной системы) от силы Х₁ и от внешней нагрузки (на рис. 5.10 не показана). Для определения значения Х₁ по формуле (5.2) длины стержней l известны и необходимо задаться сечениями F всех стержней фермы. Для первоначального определе­ния сечений стержней можно статически неопределимую систему заменить статически определимой (пренебречь влиянием затяжки). При этом найденные усилия в стержнях будут несколько пре­увеличены и после нахождения значения по формуле (5.2) может потребоваться пересчет. Если затяжка мощного сечения, что иногда имеет место, то ее продольной деформацией можно пренебречь и тогда фермы надлежит рассматривать как внешне статически один раз неопределимую систему. При этом

Существуют также искусственные приемы создания статически определимых систем для предварительного определения сечений стержней. Так, во внешне статически неопределимой системе (рис. 5.10, б), если отбросить стержень 1, то ферма делается ста­тически определимой (трехшарнирная арка с верхним шарниром О). Практика расчетов таких крановых опор показывает, что обычно при таком приеме пересчет сечений не требуется. Окончательно усилие в любом стержне определяется по формуле

N = N_P + N₁X₁.

При расчете фермы на заданное температурное воздействие Δt каноническое уравнение будет иметь вид

,

где

Здесь α — коэффициент линейного рас­ширения; Δt — изменение температуры стержня по сравнению с начальной; N_i1 — усилие, вызванное единичной силой X. Тогда

,

так как .

Усилие в любом стержне выразится формулой N = N₁X₁.

5.7 Расчет статически неопределимых систем
на действие подвижной нагрузки

Расчет балочных конструкций на действие подвижной нагрузки основывается на построении линий влияния для опорных реак­ций R, изгибающих моментов М, перерезывающих сил Q.

Для построения линий влияния в статически неопределимой конструкции надо, выбрав для нее основную систему, решить статически неопределимую задачу от действия единичной силы Р, находящейся на произвольном расстоянии х от опоры на данном пролете.

Например, пусть дана один раз статически неопределимая балка (рис. 5.11, а). Основная система приведена на рис. 5.11,б.

Рисунок 5.11 – Линии влияния реакции В и изгибающего момента М для один раз статически неопределимой балки.

Из канонического уравнения находим Х₁ = . Пользуясь правилом Верещагина, опре­деляем Δ_1Р (рис. 5.11, в, г) и δ₁₁ (рис. 5.11, г). Тогда

.

Таким образом, функция Х₁(x) представляет собой кубическую параболу. Линия влияния реакции опоры В приведена на рис. 5.11, д. Линии изгибающих моментов М строим, пользуясь принципом независимости действия сил, путем суммирования линий влияния от единичного груза P и от неиз­вестной Х₁ в основной системе. При этом линия влияния момента

М = М_р=1 +М_Х1=1Х₁ (см. график на рис. 5.11, л), где М_р=1 (график на рис. 5.11, и) и М_х1=1 (график на рис. 5.11, к).