Определение опорных реакций

В данной задаче балка закреплена при помощи трех опор – шарнирно-неподвижной и двух шарнирно-подвижных, а также в ней присутствует врезанный шарнир. Следовательно, данную балку можно разбить на две составляющие – основную и подвесную. Основной будет балка AD, а подвесной – балка DC (см. приложение В). При этом в подвесной балке в точке D шарнир следует рассмотреть как шарнирно-неподвижную опору. Найдя ее вертикальную реакцию R_D, следует перенести ее в точку D основной балки. В этой точке будет действовать та же сила R_D^’, равная по величине реакции R_D, но действующая в противоположном направлении.

Рассмотрим для начала подвесную балку. Для этого составим уравнения равновесия, определив из них значения опорных реакций. При этом из расчетной схемы балки видно, что реакция H_D = 0, так как на балку не действует ни одна продольная сила.

ΣM_D = 0: – M + R_C*3L = 0

Отсюда R_C = M/(3*L) = 30/(3*1) = 10 кН

ΣM_C = 0: - M - *3L + R_D*3L = 0

Отсюда R_D = (M + *3L) /3L = (30 + *3*1) /(3*1) = 35 кН

Теперь рассмотрим основную балку. Для этого также составим уравнения равновесия, определив из них значения опорных реакций. При этом из расчетной схемы балки видно, что реакция H_B = 0, так как на балку не действует ни одна продольная сила.

ΣM_A = 0: - q*3L*1.5L – R_D^’*3L - *3L + R_B*L = 0

Отсюда R_B = (q*3L*1.5L + R_D^’*3L + *3L) /L = (40*3*1.5 + 35*3 + * 3) = + 360 кН

ΣM_B = 0: - q*3L*0.5L – R_D^’*2L - *2L - R_A*L = 0

Отсюда R_A = -(q*3L*0.5L + R_D^’*2L+ *2L) / L = - (40*3*0.5 + 35*2 + *2) = - 180 кН

Положительные значения свидетельствуют о том, что первоначальное направление реакций выбрано верно. Отрицательные означают, что необходимо поменять первоначально выбранное направление данной реакции на противоположное.

2 Построение эпюр Q_y, M_x

Теперь можно переходить к рассмотрению каждой из составных частей балки. Необходимо будет сделать разрезы в каждой из них. Затем, отбросив одну из частей, заменить ее действие соответствующим изгибающим моментом M_x и поперечной силой Q_y – разумеется, следуя общепринятому правилу знаков.

Итак, рассмотрим каждый из участков – всего их будет 3 (см. приложение В), и составим уравнения поперечных сил и изгибающих моментов на каждом из них:

I участок: 0 ≤ z₁ ≤ 3L

Q_y(z₁) = - R_C = - 10 кН= const

M_x(z₁) = - M + R_C*z₁ (линейное уравнение)

Тогда M_x(z₁ = 0) = - 30 + 10*0 = - 30 кНм

M_x(z₁ = 3L = 3) = - 30 + 10*3 = 0

II участок: 0 ≤ z₂ ≤ L

Q_y(z₂) = - R_A - q*z₂ (линейное уравнение)

Тогда Q_y (z₂ = 0) = – 180 – 40*0 = - 180 кН

Q_y (z₂ = L = 1) = – 180 – 40*1 = - 220 кН

M_x(z₂) = - R_A*z₂ - (квадратное уравнение)

Тогда M_x(z₂ = 0) = -180*0 - = 0

M_x(z₂ = L = 1) = -180*1 - = - 200 кНм

III участок: 0 ≤ z₃ ≤ 2L

Q_y(z₃) = - R_A – q*(z₃ + 1) + R_B (линейное уравнение)

Тогда Q_y (z₃ = 0) = - 180 – 40*(0+ 1) + 360= 140 кН

Q_y (z₃ = 2L = 2) = - 180 – 40*(2 + 1) + 360= 60 кН

M_x(z₃) = - R_A*(z₃ + 1) + R_B*z₃ – q* (квадратное уравнение)

Тогда M_x(z₃ = 0) = - 180*(0 + 1) + 360*0 – 40* = - 200 кНм

M_x(z₃ = 2L = 2) = - 180*(2 + 1) + 360*2 – 40* = 0

По полученным значениям строятся соответственно эпюры Q_y и M_x (см. приложение В).

3 Подобрать по M_max размеры кольцевого сечения

Для начала необходимо определить максимальное значение изгибающего момента M_max – по модулю. Из эпюры M_x видно, что это значение равно 200 кНм.

Рассчитываем требуемый момент сопротивления сечения из условия прочности по нормальным напряжениям:

= = = 1.25*10^-3 м³ = 1250 см³

Теперь переходим непосредственно к определению размеров кольцевого сечения:

Отношение диаметров α = = 0.8 – по условию

=

Отсюда = = 27.8 см

Следовательно, 22.2 см

Площадь сечения равна: = = 219.9 см²

Приложение А

Приложение Б

Приложение В