Перечень типовых заданий

для подготовки к экзамену по математике (гр. П - 14 - 5,6,7; 4 семестр)

1. 1) Из пруда, в котором 40 щук выловили 5 щук, пометили их и отпустили. Второй раз выловили 9 щук. Какова вероятность, что среди них окажется:а) 3 помеченных; б) 5 помеченных.

2) Из полной игры лото наудачу извлекают один бочонок. На бочонках написаны числа от 1 до 90 включительно. Какова вероятность, что на извлеченном бочонке написано простое число?

3) В ящике а белых шаров и b черных (a>1,b>2). Из ящика вынимают сразу 5 шаров. Найти вероятность того, что 2 из них будут белыми.

4) Батарея из k орудий ведёт огонь по группе из l самолётов (k<l). Каждое орудие выбирает себе цель случайно и независимо от других. Найти вероятность того, что: а) все k орудий будут стрелять по одной и той же цели; б) орудия будут стрелять по разным целям.

2. 1) Два стрелка сделали по одному выстрелу по мишени. Вероятность попадания в мишень для одного из стрелков 0,6, для второго – 0,7. Найти вероятность того, что: а) оба стрелка попадут в мишень; б) хотя бы один из стрелков попадёт в мишень; в) только один из стрелков попадёт в мишень; г) ни один из стрелков не попадёт в мишень; д) хотя бы один из стрелков не попадёт в мишень.

2) В ящике 2 белых, 3 черных и 2 красных шара. Из него наудачу извлекают по одному шару без возвращения. Найти вероятность того, что белый шар появится раньше черного.

3) Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна p, для второго – 0,7. Известно, что вероятность ровно одного при одном выстреле обоих стрелков равна 0,38. Найдите p.

4) Стрелок ведёт огонь по цели, движущейся на него. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,4 и увеличивается на 0,1 при каждом последующем выстреле. Какова вероятность получить: а) два попадания при трёх независимых выстрелах; б) хотя бы одно попадание при четырёх независимых выстрелах; в) одно попадание при двух независимых выстрелах?

3. 1) Имеется три партии радиоламп, насчитывающих соответственно 20, 30 и 50 шт. Вероятность того, что радиолампы проработают заданное время, равны соответственно для этих партий 0,7; 0,8 и 0,9. а) Какова вероятность того, что наудачу выбранная лампа проработает заданное время? б) Наудачу выбранная лампа проработала заданное время. Какова вероятность, что она из 2-ой партии?

2) для сдачи зачёта курсантам необходимо подготовить 30 вопросов. Из 25 курсантов 10 подготовили ответы на все вопросы, 8 – на 25 вопросов, 5 – на 20 вопросов и 2 – на 15. Вызванный наудачу курсант ответил на поставленный вопрос. Найдите вероятность того, что этот курсант: а) подготовил все вопросы, б) подготовил только половину вопросов.

3) 60% учащихся в школе – девочки, 80% девочек и 75% мальчиков имеют билеты в театр. В учительскую принесли кем-то потерянный билет. Какова вероятность того, что этот билет: а) принадлежит девочке; б) принадлежит мальчику?

4) Бросается монета, и если она падает так, что сверху оказывается герб, вынимается один шар из первого ящика; в противном случае – из второго ящика. Первый ящик содержит 3 красных и 1 белый шар, второй ящик содержит 1 красный и 3 белых шара. Какова вероятность того, что: а) вынутый шар красный; б) красный шар оказался вынутым из первого ящика?

5) Из 5 стрелков двое попадают в цель с вероятность 0,6 и трое – 0,4. а) Что вероятнее: попадёт в цель наудачу выбранный стрелок или нет? б) Наудачу выбранный стрелок попал в цель. Что вероятнее: принадлежит он к первым двум или трём последним?

6) В первой коробке содержится 20 радиоламп, из которых 18 стандартных, во второй – 10 ламп, из них 9 стандартных. Из второй коробки в первую переложили одну лампу. Найти вероятность того, что лампа, наудачу извлеченная из первой коробки будет стандартной.

4.

1)

Р(А_i)=0,4.

Найти: 1)А - цепь работает; 2) -?; 3) Р() -?

2) Дискретная случайная величина Х задана рядом распределения:

Найти: построить график функции распределения.

3) Монета подбрасывается 3 раза. Случайная величина Х- число выпадений герба. Найдите закон распределения случайной величины. Постройте график функции распределения, найдите дисперсию.

4) Из ящика, содержащего 2 белых и 3 черных шара, наугад вынимают два шара. Х – число вынутых белых шаров. Найдите математическое ожидание и дисперсию.

5) Вероятность наступления события А в каждом из 900 испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что событие А произойдет: а) 750 раз; б) 720 раз; в) не менее 710 раз; г) не более 740 раз.

6) Имеется 4 лампы, каждая с вероятностью имеет дефект. При ввинчивании в патрон дефектная лампа сразу перегорает, тогда ввинчивается следующая. Случайная величина Х – число ввинченных ламп. Найдите закон распределения случайной величины. Постройте график функции распределения, найдите дисперсию.

7) Вероятность отказа каждого прибора при испытании равна 0,4. Что вероятнее ожидать: отказ двух приборов при испытании четырёх, или отказ трёх приборов при испытании шести, если приборы испытываются независимо друг от друга?

8) В партии, состоящей из 150 изделий, имеется 7 дефектных. Из партии выбирается для контроля 100 изделий. Найти вероятность того, что из них: а) ровно 5 будут дефектными, б) хотя бы один будет дефектным; в) будут дефектными от 30 до 70 изделий.

5. 1) Случайная величина Х задана функцией распределения графически. Найдите плотность вероятностей. Какое распределение имеет эта величина?

2) Случайная величина имеет плотность распределения вероятности:

f (x) = .

Найти: a) найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х; б) функцию распределения F , построить график; в) P (0 <Х< 2).

3) Случайная величина Х распределена по нормальному закону

.

Найти: а) коэффициент с, параметр ; б) вероятность попадания случайной величины Х в промежуток [2,5].Схематично построить график функции f(x).

5) Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону распределения с параметром .Найти 1) математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение и дисперсию случайной величины; 2) P (0,4 <Х< 1).

6. 1)

а) Найти ; б) Построить гистограмму распределения.

2) Статистическое распределение выборки задано таблицей

Найти относительные частоты всех вариант, выборочное среднее, выборочную дисперсию.