Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Формулы логики предикатовСтр 1 из 2Следующая ⇒
Введение В алгебре высказываний мы подробно изучили одно из важнейших ее понятий и инструментов – понятие формулы алгебры высказываний. Теперь наша задача состоит в том, чтобы определить и изучить соответствующее понятие в логике предикатов, а затем на его основе продемонстрировать, насколько тоньше и точнее язык и логика предикатов отражают процессы человеческого мышления, нежели это делают язык и логика высказываний.
Вопрос 1. Определение и значение формулы логики предикатов Определим алфавит символов, из которых будут составляться формулы логики предикатов: 1. Переменные высказывания: р, q, r, … (принимают два значения: 1 – истина, 0 - ложь). 2. Предметные переменные: х, у, z, хi, уi, zi (iÎN) (принимают значения из некоторого множества М); предметные константы (значения предметных переменных) - х0, у0, z0, …. 3. Одноместные предикатные переменные: Р(·), F(·),Рi(·), Fi(·) (iÎN); n-местные предикатные переменные: Q(·, ·, …, ·), R(·, ·, …, ·), Qi(·, ·, …, ·),Ri (·, ·, …, ·) (iÎN). Эти символы называются переменными предикатами. Р0(·), Q0(·, ·, …, ·) - символы постоянных предикатов.
4. Символы логических операций: ¯, Ù, Ú, ®, ↔.
5. Символы кванторных операций: ", $.
6. Вспомогательные символы: скобки, запятые.
Каждая формула является словом в алфавите, содержащем указанные выше в пунктах 1-6 символы. Определим, какие слова называются формулами.
О.1.1.(определение формулы логики предикатов) 1. Каждое высказывание как переменное, так и постоянное, является формулой. 2. Если Q(·, ·, …, ·) - n-местная предикатная переменная или постоянный предикат, а х1,х2,…,хn – предметные переменные или предметные постоянные (не обязательно все различные), то Q(х1, х2, …, хn) есть формула. В формулах этого типа предметные переменные являются свободными, не связанными кванторами. 3. Если А и В – формулы, в которых нет таких предметных переменных, которые связаны в одной формуле и свободны в другой, то слова (1) так же являются формулами. При этом свободные (связанные) переменные в формулах А и В остаются свободными (связанными) во всех формулах (1), т.е. характер предметных переменных при переходе от формул А и В к формулам (1) не меняется. 4. Если А – формула, то (Ā) – формула, причем характер предметных переменных при переходе от формулы А к формуле (Ā) не меняется. 5. Если А – формула, в которую предметная переменная х входит свободно, то слова ("х А) и ($х А) так же являются формулами, причем предметная переменная х входит в них связно. Остальные предметные переменные, входящие в формулу А свободно или связно, остаются и в новых формулах соответственно такими же. 6. Всякое слово, отличное от тех, которые названы формулами в пунктах 1-5, не является формулой.
Формулы, определенные в пунктах 1 и 2, называются элементарными или атомарными. Формулы, не являющиеся элементарными, называются составными. Замечание Условимся вносить некоторые упрощения в записи формул логики предикатов: опускать внешние скобки и некоторые внутренние, если последовательность операций, исходя из их приоритета, не вызывает сомнений; иногда круглые скобки заменяют квадратными. Пример 1. Если Р(х) и Q(х,у) – одноместный и двуместный предикаты, а р и r – переменные высказывания, то: 1) р, Р(х) – элементарные формулы; 2) Р(х) Ù Q(х0, у), "х Р(х) ®$х Q(х,у), (Q(х,у) Ú р) ® r – составные формулы; 3) "х Q(х,у) ® Р(х) – не формула (нарушено условие пункта 3, так как в формулу "х Q(х,у) переменная х входит связно, а в формулу Р(х) - свободно).
Из определения формулы логики предикатов следует, что всякая формула алгебры высказываний является формулой логики предикатов.
В формулах вида "х А и $х А формула А называется областью действия квантора " и $ соответственно. Ясно, что вхождение переменной в формулу будет связанным, если эта переменная находится в области действия квантора по данной переменной.
Формулы, в которых нет свободных переменных, называются замкнутыми, а формулы, содержащие свободные переменные – открытыми.
Пример 2. Открытые формулы: Р(х), "х Р(х) ®$х Q(х,у), "х $у R(х,у,z). Замкнутые формулы: р, "z Р(z), "х $у R(х,у), "х Р(х) ®$у "х Q(х,у).
Из пункта 3 индуктивного определения формулы следует, что: а) в формуле свободные и связанные переменные должны обозначаться разными буквами; б) если какой-либо квантор находится в области действия другого квантора, то переменные, связанные этими кванторами, так же обозначаются разными буквами. Нарушение условий а) и б) называется коллизией переменных.
Пример 3. "х (Р(х) ® $х Q(х,у)) – не формула (нарушено условие б)).
|