Теория функций комплексного переменного

1. Комплексные числа. Функции комплексного переменного и отображения множеств.

2. Элементарные функции комплексного переменного.

3. Интеграл по комплексному переменному

4. Интегральная теорема Коши. Интеграл Коши: интегральная формула Коши;

5. Бесконечная днфференцируемость аналитических функций, формулы Коши для производных; теорема Морера.

6. Последовательности и ряды аналитических функций в области.

7. Разложение аналитической функции в степенной ряд

8. Теорема единственности и принцип максимума модуля: нули аналитической функции, порядок нуля; теорема единственности для аналитических функций; принцип максимума модуля и лемма Шварца.

9. Ряд Лорана

10. Неравенства Коши для коэффициентов; теорема Лиувилля и теорема об устранимой особой точке. Изолированные особые точки однозначного характера; классификация изолированных особых точек однозначного характера по поведению функции и ряду Лорана; полюс, порядок полюса; существенная особая точка, Теорема Сохоцкого- Вейерштрасса, понятие о теореме Пикара; бесконечно удаленная точка как особая.

11. Вычеты, принцип аргумента: определение вычета, теоремы Коши о вычетах, вычисления вычетов; применения вычетов; логарифмический вычет, принцип аргумента; теорема Руше и теорема Гурвица.

12. Отображения посредством аналитических функций: принцип открытости и принцип области; теорема о локальном обращении; однолистные функции, критерий локальности однолистности и критерий конформности в точке, достаточное условие однолистности (обратный принцип соответствия границ); дробно-линейность однолистных конформных отображений круговых областей друг на друга; теорема Римана (без доказательства) и понятие о соответствии границ при конформном отображении. Аналитическое продолжение

13. Полная аналитическая функция в смысле Вейерштрасса, ее риманова поверхность и особые точки; теорема о монодромии; аналитическое продолжение через границу области, принцип симметрии. Целые и мероморфные функции: целые функции, их порядок и тип; произведение Вейерштрасса; мероморфные функции; функции, мероморфные в расширенной плоскости.

14. Гармонические функции на плоскости

15. Теорема Лиувилля и теорема Харнака об устранимой особой точке; интегралы Пуассона и Шварца; разложение гармонических функций в ряды, связь с тригонометрическими рядами; задача Дирихле, применение конформных отображений для ее решения; гидромеханическое истолкование гармонических и аналитических функций.

Рекомендуемая литература: см. [27] - [29]