Метрическое описание и аналитическое продолжение

В 1915 году К. Шварцшильд выписал решения уравнений Эйнштейна без космологического члена для пустого пространства в сферически симметричном статическом случае^[9] (позднее Биркхоф показал, что предположение статичности излишне^[21]). Это решение оказалось пространством-временем с топологией и интервалом, приводимым к виду

где

· t — временная координата, в секундах,

· r — радиальная координата, в метрах,

· θ — полярная угловая координата, в радианах,

· φ — азимутальная угловая координата, в радианах,

· — радиус Шварцшильда тела с массой M, в метрах.

Временная координата соответствует времениподобному вектору Киллинга , который отвечает за статичность пространства-времени, при этом её масштаб выбран так, что — это время, измеряемое бесконечно удалёнными покоящимися часами (). Часы, закреплённые на радиальной координате без вращения (), будут идти медленнее этих удалённых в раз за счёт гравитационного замедления времени.

Геометрический смысл r состоит в том, что площадь поверхности сферы есть Важно, что координата r принимает только значения, бо́льшие а значение параметра r, в отличие от лапласовского случая, не является «расстоянием до центра», так как центра как точки (события на действительной мировой линии какого-либо тела) в шварцшильдовском пространстве вообще нет.

Наконец, угловые координаты θ и φ соответствуют сферической симметрии задачи и связаны с её 3 векторами Киллинга.

Из основных принципов ОТО следует, что такую метрику создаст (снаружи от себя) любое сферически симметричное тело с радиусом и массой Замечательно, хотя и в некоторой степени случайно, что величина гравитационного радиуса — радиус Шварцшильда — совпадает с гравитационным радиусом вычисленным ранее Лапласом для тела массы

Как видно из приведённой формы метрики, коэффициенты при t и r ведут себя патологически при , где и располагается горизонт событий чёрной дыры Шварцшильда — в такой записи решения Шварцшильда там имеется координатная сингулярность. Эти патологии являются, однако, лишь эффектом выбора координат (подобно тому, как в сферической системе координат приθ = 0 любое значение φ описывает одну и ту же точку). Пространство Шварцшильда можно, как говорят, «продолжить за горизонт», и если там тоже считать пространство везде пустым, то при этом возникает бо́льшее пространство-время , которое называется обычно максимально продолженным пространством Шварцшильда или (реже) пространством Крускала.

·

Рис. 1. Сечение пространства Шварцшильда. Каждой точке на рисунке соответствует сфера площадью Радиальные светоподобные геодезические (то есть мировые линии фотонов) — это прямые под углом 45° к вертикали, иначе говоря — это прямые или

Чтобы покрыть это большее пространство единой координатной картой, можно ввести на нём, например, координаты Крускала — Шекерса. Интервал в этих координатах имеет вид

где а функция определяется (неявно) уравнением Пространство максимально, то есть его уже нельзя изометрически вложить в большее пространство-время (его нельзя «продолжить»). Исходное пространство является всего лишь частью при — область I на рисунке. Тело, движущееся медленнее света — мировая линия такого тела будет кривой с углом наклона к вертикали меньше 45°, см. кривую γ на рисунке — может покинуть При этом оно попадает в область II, где Покинуть эту область и вернуться к оно, как видно из рисунка, уже не сможет (для этого пришлось бы отклониться более, чем на 45° от вертикали, то есть превысить скорость света). Область II, таким образом, представляет собой чёрную дыру. Её граница (ломаная, ) соответственно является горизонтом событий.

Отметим несколько замечательных свойств максимально продолженного Шварцшильдовского пространства

Оно сингулярно: координата r наблюдателя, падающего под горизонт, уменьшается и стремится к нулю, когда его собственное время τ стремится к некоторому конечному значению Однако его мировую линию нельзя продолжить в область так как точек с в этом пространстве нет. Таким образом, судьба наблюдателя нам известна только до некоторого момента его (собственного) времени.

Пространство имеет две истинные гравитационные сингулярности: одну в «прошлом» для любого наблюдателя из областей I и III, и одну в «будущем» (обозначены серым на рисунке справа).

Хотя пространство статично (видно, что первая метрика этого раздела не зависит от времени , пространство таковым не является.

Область III тоже изометрична Таким образом, пространство Шварцшильда содержит две «вселенные» — «нашу» (это ) и ещё одну такую же. Область II внутри чёрной дыры, соединяющая их, называется мостом Эйнштейна — Розена. Попасть во вторую вселенную наблюдатель, стартовавший из I и движущийся медленнее света, не сможет (см. рис. 1), однако в промежуток времени между пересечением горизонта и попаданием на сингулярность он сможет увидеть её. Такая структура пространства-времени, которая сохраняется и даже усложняется при рассмотрении более сложных чёрных дыр, породила многочисленные спекуляции на тему возможных параллельных вселенных и путешествий в них через чёрные дыры как в научной литературе, так и в научно-фантастической (см. Кротовые норы).

·

· Рис. 2. Сечения пространства Шварцшильда в разные моменты времени (одно измерение опущено).

Чтобы представить себе структуру 4-мерного пространства-времени его удобно условно рассматривать как эволюцию 3-мерного пространства. Для этого можно ввести «временнýю» координату и сечения (это пространственно-подобные поверхности, или «поверхности одновременности») воспринимать как «в данный момент времени». На рис. 2 показаны такие сечения для разных моментов T. Мы видим, что вначале имеются два несвязанных 3-мерных пространства. Каждое из них сферически симметрично и асимптотически плоско. Точка отсутствует и при кривизна неограниченно растёт (сингулярность). В момент времени обе сингулярности исчезают и между ранее не связанными пространствами возникает «перемычка» (в современной терминологии кротовая нора). Радиус её горловины возрастает до при затем начинает уменьшаться и при перемычка снова разрывается, оставляя два пространства несвязанными.^[22]