Рассмотрение задачи Лензе-Тирринга с помощью адиабатической теории

Под названием адиабатическая теория движения тел подразумевается подход, развитый М.М.Абдильдиным для исследования эволюционного движения в механике ОТО [11, 20, 21, 22, 23]. Он основан на использовании векторных элементов для описания движения, на асимптотических методах теории нелинейных колебаний и на методе адиабатических инвариантов.

Существует большой класс задач в механике ОТО, где исследуемые системы можно рассматривать как медленно эволюционирующие гамильтоновы системы. Другими словами, ряд задач механики ОТО может рассматриваться как возмущенная кеплерова задача. Функция Лагранжа для них имеет вид

, (1.143)

а гамильтониан

, (1.144)

где R - пертурбационная функция ~ , - импульс.

Описание движения можно производить с помощью векторных элементов и . Тогда, из-за векторного характера элементов и , мы можем написать самый общий вид уравнений движения автоматически

, (1.145)

, (1.146)

где и - единичные вектора в направлениях векторов и .

В этой общей записи уравнений движения пробного тела m во внешнем гравитационном поле остается неизвестной угловая скорость . Её конкретный вид должен зависеть от рассматриваемой физической системы. Действительно, в работе [11] показано, что

, (1.147)

где - осредненное по кеплеровскому движению значение гамильтониана. Причем является функцией и адиабатического инварианта системы

. (1.148)

Знание угловой скорости позволяет вычислить большинство известных релятивистских эффектов, не прибегая даже к решению уравнений движения (1.145) и (1.146). Наличие инварианта (1.148) позволяет уравнениям движения (1.145) и (1.146) придать следующий вид

, (1.149)

. (1.150)

Уравнения (1.149), (1.150) и соотношение (1.147) образуют математическую основу того подхода к исследованию задач механики ОТО, который называется адиабатической теорией движения тел в механике ОТО. Другими словами, эти уравнения вместе с соотношением (1.147) полностью решают вопрос об эволюционном движении в квазикеплеровой задаче.

Для задачи Шварцшильда, например, с точки зрения адиабатической теории движения тел в механике ОТО, имеют место простые уравнения движения

, , (1.151)

где среднее значение гамильтониана

. (1.152)

Угловая скорость

(1.153)

и смещение перигелия за период Т

. (1.154)

Мы снова получили известную формулу Эйнштейна. Все, что пришлось делать, - это элементарное взятие производной от по векторному элементу . Отсюда становится ясным, что эффект вращения перигелия в задаче Шварцшильда связан с появлением в гамильтониане зависимости от орбитального момента . В классической механике, т.е. в задаче Кеплера, такой зависимости нет и перигелий остается неподвижным. В случае задачи Кеплера гамильтониан зависит только от инварианта системы и, если составить производную

, (1.155)

т.е. так называемое среднее движение.

Теперь рассмотрим задачу Лензе-Тирринга о финитном движении пробного тела в поле вращающегося массивного шара на основе метрики первого приближения (1.73) [24]. В этом случае гамильтониан принимает вид

(1.156)

а уравнения движения таковы:

, (1.157)

(1.158)

Из этих уравнений следует, что учет интеграла, зависящего от внутренней структуры, существенно изменяет уравнения движения задачи Лензе-Тирринга по сравнению с уравнениями, приведенными в более ранних работах [3]. Рассматривая эту задачу на основе адиабатической теории движения тел в механике ОТО, в начале находим

(1.159)

При этом полезными являются формулы кеплерова движения [15]:

, , ,

, , , (5.11)

где r, φ - полярные орбитальные координаты; - орты орбитальной декартовой системы координат, причем направлен в сторону перигелия. Теперь нетрудно видеть, что правые части уравнений движения (5.9) и (5.10), по существу, зависят только от одной переменной φ, которая в свою очередь является функцией времени. Поскольку мы, следуя методике, примененной раньше, собираемся усреднить правые части (5.9) и (5.10) по времени, то полезно заметить, что для любого члена правых частей (5.9) и (5.10) справедливо равенство

. (5.12)

Таким образом, усреднение по t сводится к усреднению по φ с весовой функцией . В процессе усреднения приходится также пользоваться формулой (2.90)

. (5.13)

Используя формулы

(1.160)

находим среднее от нерелятивистской части гамильтониана

(1.161)

Остальные члены равны соответственно

(1.162)

(1.163)

(1.164)

(1.165)

(1.166)

(1.167)

(1.168)

Имея ввиду

(1.169)

собрав все вычисленные части, запишем усредненный гамильтониан

(1.170)

Окончательно

(1.171)

Уравнения движения в векторных элементах запишется как

, , , (1.172)

где явный вид угловой скорости имеет вид

(1.173)

Выражение (1.173) существенно дополняет результаты ранних исследований по задаче Лензе-Тирринга. Таким образом, учет интеграла, зависящего от внутренней структуры в метрике первого приближения механики ОТО, представляется необходимым.

Для общего случая квазикеплеровых задач механики ОТО существует усредненный гамильтониан

, (1.174)

и имеют место автономные канонические уравнения [25, 26]

, (1.175)

где - вектор бесконечно малого поворота.