Примеры решения задач. Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации

Ростовская-на-Дону государственная академия

Сельскохозяйственного машиностроения

Кафедра “Физика”

Ростов-на-Дону

Введение

1. Абсолютный показатель преломления среды:

n = c / V, где с и V - скорости света в вакууме и данной среде соответственно.

2. Законы отражения и преломления света

	Рис. 1

Падающий луч (1), отраженный луч (2), преломленный луч (3) и перпендикуляр к границе раздела двух сред (4) лежат в одной плоскости.

a = b

n ₁×sin a = n ₂× sin b

Отношение n ₂ / n ₁ называют относительным показателем преломления двух сред.

3. Полное внутреннее отражение

При переходе света из оптически более плотной среды в оптически менее плотную (n ₁ > n ₂) при некотором угле падения a_пред угол преломления равен g = 90°.

a_пред = arcsin (n ₂ / n ₁).

4. Для построения изображения в собирающей линзе используются два луча:

1) луч 1, проходящий без преломления через оптический центр О линзы;

2) луч 2, падающий на линзу параллельно главной оптической оси и проходящий после преломления в линзе через ее главный фокус F.

	Рис. 2

5. Формула тонкой собирающей линзы:

,

где a - расстояние от предмета до линзы, b - расстояние от линзы до изображения, f - фокусное расстояние.

6. Интерференция световых волн от двух точечных источников

При интерференции волн, идущих от двух точечных когерентных источников, интерференционные максимумы будут наблюдаться на удаленном экране при условии

d ×sin Q = m ×l, m = 0, 1, 2,¼,

где d - расстояние между источниками, Q - угол отклонения лучей от первоначального направления, m - порядок максимума, l - длина волны.

Условия образования интерефенционных минимумов

d ×sin Q = (2 m +1)×l / 2, m = 0, 1, 2,¼.

7. Интерференция в тонких пленках

Если над и под пленкой находится среда с меньшим показателем преломления, чем у пленки, то разность хода лучей, отраженных от верхней и нижней поверхности пленки равна:

d = 2× d × n ×cosg + l / 2,

где d и n - толщина и показатель преломления пленки соответственно, g - угол преломления, l - длина волны света (см. рис. 3)

Если над пленкой находится среда с показателем преломления меньшим, чем у пленки, а под пленкой - среда с показателем преломления большим, чем у пленки, то разность хода лучей равна:

d = 2× d × n ×cosg.

	Рис. 3

Если d = m ×l, при интерференции имеет место максимум, если d = (2 m +1)×l / 2 - минимум, m = 0, 1, 2,¼.

(Примечание: при отражении света от оптически более плотной среды “теряется” половина длины волны).

8. Радиусы колец Ньютона определяются условиями:

(темные кольца), m = 0, 1, 2, ¼,

(светлые кольца), m = 0, 1, 2, ¼,

где m - номер кольца, R - радиус кривизны линзы, l - длина световой волны в вакууме (воздухе).

9. Дифракция Фраунгофера: экран расположен бесконечно далеко от щели, на которую падает пучок параллельных лучей. При нормальном падении дифракционные минимумы наблюдаются при условии

D × sin Q = m ×l, m = 0, 1, 2,¼,

а максимумы при условии

D × sin Q = (2 m +1)×l / 2, m = 0, 1, 2,¼,

где D - ширина щели, m - порядок дифракционного максимума (минимума), Q - угол отклонения лучей от первоначального направления.

10. Дифракция Френеля: экран расположен вблизи щели. Фронт волны разделяется на зоны так, что волны от соседних зон приходят в точку наблюдения в противофазе и ослабляют друг друга.

11. Дифракционная решетка: максимумы света наблюдаются под углом Q к нормали к решетке при условии

d ×sin Q = m ×l, m = 0, 1, 2,¼

где d - постоянная (период) решетки, m - порядок спектра.

Разрешающая способность дифракционной решетки

R = l / Dl = N × m,

где N - общее число щелей решетки, m - порядок спектра, l и l+Dl - длины двух близких спектральных линий, еще разрешаемых решеткой.

12. Условие образования дифракционных максимумов при дифракции рентгеновских лучей на кристаллах (условие Вульфа-Брегга)

m ×l = 2× d ×sin Q, m = 0, 1, 2, ¼,

где d - период кристаллической решетки, Q - угол между плоскостью кристалла и рентгеновском лучом, l - длина волны рентгеновского излучения.

13. Интенсивность I света, прошедшего поляризатор (закон Малюса)

I = I ₀ × cos² Q,

где Q - угол между осью поляризатора и плоскостью поляризации падающей волны, I ₀ - интенсивность падающего линейно-поляризованного света.

Если на поляризатор падает неполяризованный свет интенсивностью I ₀, то интесивность прошедшего света равна I = 0,5× I ₀

14. Отраженный от диэлектрической поверхности свет полностью поляризован, если падает на поверхность под углом Q_Б (закон Брюстера)

tg Q_Б = n ₂ / n ₁ ,

Q_Б называется углом полной поляризации (углом Брюстера), n ₁ - показатель преломления среды, в которой распространяется луч, n ₂ - показатель преломления среды, лежащей по другую сторону от отражающей границы.

15. При распространении луча в анизотропном кристалле перпендикулярно оптической оси кристалла между обыкновенным и необыкновенным лучами возникает разность фаз

Dj = d ×(n _o - n _e)×2×p / l,

где d - толщина кристалла, l - длина волны света, n _o - показатель преломления обыкновенного луча, n _е - показатель преломления необыкновенного луча.

16. При наложении двух когерентных волн разной амплитуды А ₁ и А ₂ амплитуда А результирующей волны в точке наблюдения определяется соотношением

А ² = А ₁² + А ₂² + 2× А ₁× А ₂×cos Dj,

где Dj - разность фаз между волнами.

Интенсивность световой волны прямо пропорциональна квадрату ее амплитуды.

Примеры решения задач

1. Расстояние между предметом и его действительным изображением, даваемым линзой, L. Линейное увеличение равно k. Найти фокусное расстояние линзы.

Решение:

Построим изображение в линзе (см. рис.4)

	Рис. 4

Линейное увеличение определяется условием: k = (A^’ B^’) / (AB).

Исходя из подобия треугольников _D АВО и _D A^’ B^’ О получим

(A^’ B^’) / (AB) = b / a.

По условию задачи L = a + b.

Поэтому Þ .

Учитывая, что , преобразуем формулу тонкой линзы

к виду .

Отсюда приходим к ответу: .

2. Две щели находятся на расстоянии 0,1 мм друг от друга и отстоят на 1,2 м от экрана. От удаленного источника на щели падает свет длиной волны 500 нм. На каком примерно расстоянии друг от друга расположены светлые полосы на экране?

Решение

Светлые полосы наблюдаются на экране, если

d ×sin a = m ×l, m = 0, 1, 2, ¼,

m - порядок интерференционной полосы.

	Рис. 5

Полоса 1-го порядка наблюдается при угле Q₁, задаваемом соотношением: sin Q₁ = l / d.

Подставив численные значения получим

sin Q₁ = 500×10^-9м / 10^-4м = 5×10^-3.

При малом угле можно положить sin Q₁» Q₁» tg Q₁.

Расстояние х₁, на котором полоса первого порядка находится от центра экрана, определяется соотношением

х₁ / L = Q₁ Þ х₁ = L × Q₁ = 1200 мм × 5×10^-3 = 6 мм.

Вторая полоса находится на расстоянии

х₂ = L × Q₂ = L ×2×l / d = 12 мм, и так далее.

Ответ: Светлые полосы отстоят друг от друга примерно на 6 мм.

3. Покажите, что радиус r _m m - го темного кольца Ньютона при наблюдении по нормали сверху определяется выражением , где R - радиус кривизны поверхности стекла, l - длина волны используемого света. Предполагается, что толщина воздушного зазора всюду намного меньше радиуса кривизны R и что r _m много меньше R.

Решение

	Рис. 6

Так как при отражении света от среды с большим показателем преломления его фаза меняется на 180°, а при отражении от среды с меньшим показателем преломления его фаза не меняется, луч 1 имеет ту же фазу, что и падающий луч, луч 2 - фазу, отличную от падающего луча на 180°, что означает дополнительную разность хода между лучами 1 и 2, равную l / 2. Тогда условие возникновения темного кольца

2× t + l / 2 = (m + 1/2)×l, m = 0, 1, 2, ¼, или 2× t = l× m,

где t - толщина воздушного зазора между сферической поверхностью и плоской пластинкой. Из геометрии рисунка следует. Что

(R - t)² + r ² = R ²

r ² - 2× t × R + t ² = 0

так как t << R и t << r, слагаемым t ² можно пренебречь, и в результате

r ² = 2× t × R,

Ответ:

4. Вычислить радиусы первых трех зон Френеля, если расстояние от источника до волновой поверхности равно 1 м, расстояние от волновой поверхности до точки наблюдения также равно 1 м и длина волны света 500 нм.

Дано: a = 1 м, b = 1 м, l = 500 нм, r 1 =? r 2 =? r 3 =?
		Рис. 7

Найдем радиус 1-й зоны Френеля. Он должен быть таков, чтобы лучи PA и NA, приходящие в точку наблюдения А из центра Р и края N -й зоны Френеля, имели разность хода, равную l / 2.

Обозначим a - расстояние от источника света до сферической волновой поверхности (источник считаем точечным), b - расстояние от волновой поверхности до точки наблюдения. Тогда радиус 1-й зоны Френеля

r ² = a ² - (a - x)² = (b + l / 2)² - (b + x)²,

Так как l << b, после возведения в квадрат слагаемым l² / 4 можно пренебречь. В результате получаем уравнение

2× a × x + 2× b × x = b ×l,

откуда ,

и r ² = a ² - (a - x)² = a ² - a ² + a×b×l / (a + b)

.

Аналогично вычисляется радиус m -й зоны Френеля

.

Ответ: Радиусы первых трех зон Френеля равны

,

,

5. Свет с длиной волны 750 нм, падая нормально, проходит через щель шириной 10^-3 мм. Какова ширина центрального максимума: а) в градусах; б) в сантиметрах на экране, находящимся на расстоянии 20 см от щели.

Дано: l = 750 нм, D = 10-3 мм, L = 20 см, 2× х =? 2×Q =?		Решение
		Рис. 8

Ширина щели D настолько мала, что в ней укладывается менее одной зоны Френеля (докажите это самостоятельно). Поэтому в данном случае имеет место дифракция Фраунгофера. На экране наблюдается светящееся изображение щели (центральный максимум), окруженное темными и светлыми полосами (дифракционные минимумы и максимумы).

а) Первый минимум наблюдается под углом Q таким, что

sin Q = l / D.

sin Q = 750×10^-9 м / 10^-6 м = 0,75 Þ Q = 49°.

б) Ширина центрального максимума равна 2× х.

tg Q = x / L, где L - расстояние до экрана.

2× Х = 2×tg Q× L = 2×tg 49°× 0,2 м = 0,46 м.

Ответ: а) Q = 49°, б) 2× Х = 0,46 м.

6. Желтый свет натрия (которому соответствуют длины волн 589,00 нм и 589,59 нм) падает на дифракционную решетку, имеющую 7500 штрихов / см. Определить: а) максимальный порядок для желтого света натрия; б) ширину решетки, необходимую для разрешения двух линий натрия; в) разрешающую способность дифракционной решетки в этом случае.

Решение

а) Период дифракционной решетки будет равен d = 1 / n = 1×0,01 м / 7500 = 1,33×10^-6м.

Максимальный порядок m может быть найден из условия возникновения максимумов для дифракционной решетки: d × sin Q = m ×l.

Учитывая, что Q_max £ 90° получим: m = (d ×sin Q_max) / l < d / l.

m = 1,33×10^-6м / 5,89×10^-7м = 2,25.

Округляя это значение до меньшего целого, получаем ответ m = 2.

б) Разрешающая способность решетки определяется выражением

R = l₁ / Dl = N × m,

где Dl - разность длин волн близких спектральных линий, разрешаемых решеткой; N - полное число штрихов решетки; m - порядок максимума.

N = D / d,

где D - ширина решетки.

Для разрешения спектральных линий с разностью длин волн Dl решетка должна иметь ширину: D = N × d = d ×l₁ / (Dl× m),

Для разрешения линий натрия во втором максимуме решетка должна иметь ширину D = 1,33×10^-6м×589×10^-9м / (2×0,59×10^-9м) = 6,67×10^-4м.

в) Разрешающая способность решетки находится из формулы

R = l₁ / Dl.

При подстановке численных данных получаем:

R = 589 нм / 0,59 нм = 1000.

Чтобы достичь ее, полное число штрихов должно быть равно:

N = R / m = 1000 / 2 = 500.

Ответ: а) m = 2, б) D = 6,67×10^-4м, в) R = 1000, N = 500.

7. Неполяризованный свет проходит через два поляроида. Ось одного вертикальна, а ось другого образует с вертикалью угол Q = 60°. Найти интенсивность прошедшего света.

Решение

	Рис. 9

Первый поляроид исключает половину света, поэтому после его прохождения интенсивность света уменьшается в два раза:

I ₁ = I ₀ / 2.

Свет, падающий на второй поляроид, поляризован в вертикальной плоскости, поэтому после прохождения второго поляроида интенсивность света равна: I ₂ = I ₁×(cos Q)² = I ₀×(cos Q)² / 2.

Отсюда I ₂ = I ₀×(cos 60°)² / 2 = I ₀ / 8.

Ответ: интенсивность прошедшего света составляет 1/8 от интенсивности падающего света, а плоскость его поляризации образует с вертикалью угол 60°.

8. При каком угле падения солнечный свет отражается от поверхности озера плоскополяризованным? Чему равен угол преломления?

Решение

Согласно закону Брюстера отраженный луч полностью поляризован, если:

tg Q_Б = n,

где Q_Б - угол полной поляризации отраженного от диэлектрика света, n - показатель преломления. Для границы вода-воздух n = 1,33,

отсюда Q_Б = 33,1°.

При полной поляризации отраженного света выполняется равенство:

Q_Б + g = 90°

где g - угол преломления.

g = 90° - Q_Б = 36,9°.

Ответ: g = 36,9°

9. Какую минимальную толщину должна иметь четвертьволновая пластинка кальцита (n₀ = 1,658; n_e = 1,486) для света с длиной волны 589 нм?

Решение

При распространении луча в кристалле перпендикулярно главной оптической оси между обыкновенным и необыкновенным лучами возникает разность фаз Dj = 2×p ×d× (n _o - n _e) / l,

где d - толщина кристалла; l - длина волны света.

Четвертьволновой пластинке максимальной толщины соответствует разность фаз Dj = p / 2, или 2×p ×d× (n _o - n _e) / l = p / 2,

откуда нм.

Ответ: d = 856 нм