Задача №3

Задача №1.

В учениях участвуют два корабля A и B, которые одновременно производят выстрелы друг в друга через равные промежутки времени. При каждом обмене выстрелами корабль A поражает корабль B с вероятностью 0.6, а корабль B поражает корабль A с вероятностью 0.75. Предполагается, что при любом попадании корабль выходит из строя. Определить матрицу вероятностей переходов, если состояниями цепи Маркова являются комбинации: Е1 – оба корабля в строю, Е2 – в строю только корабль A, Е3 – в строю только корабль B, Е4 – оба корабля поражены. Найти стационарное распределение вероятностей состояний.

Задача №2.

Рассматривается работа автозаправочной станции (АЗС), на которой имеется 2 заправочные колонки. Предположим, что она описывается процессом размножения и гибели в стационарном режиме. Заправка каждой машины длится в среднем 3 минуты. В среднем на АЗС каждые две минуты прибывает машина, нуждающаяся в заправке. Число мест в очереди неограниченно. Все машины, вставшие на заправку, терпеливо дожидаются своей очереди.
Определить:

1. Вероятность того, что на заправке находится 5 машин.

2. Вероятность того, что вновь прибывшей машине придется ждать обслуживания.

Задача №3.

На входе СМО с одним обслуживающим прибором простейший поток требований с параметром λ=1.2. Время обслуживания распределено равномерно на интервале (0, 1). Определить среднюю длину очереди, среднее время ожидания, среднее время обслуживания, среднее время пребывания требования в системе и среднее число требований в системе.

Задача 4. Интенсивность потока телефонных звонков в агентство по заказу железнодорожных билетов, имеющему один телефон, составляет 16 вызовов в час. Продолжительность оформления заказа на билет равна 2.4 минуты. Определить относительную и абсолютную пропускную способность этой СМО и вероятность отказа (занятости телефона). Сколько телефонов должно быть в агентстве, чтобы относительная пропускная способность была не менее 0,75. Одноканальная СМО с отказами

Задача 5. Система массового обслуживания — билетная касса с одним окошком и неограниченной очередью. Касса продает билеты в пункты А и В. Пассажиров, желающих купить билет в пункт А, приходит в среднем трое за 20 мин, в пункт В — двое за 20 мин. Поток пассажиров простейший. Кассир в среднем обслуживает трех пассажиров за 10 мин. Время обслуживания — показательное. Вычислить финальные вероятности Р0, P2, P3, среднее число заявок в системе и в очереди, среднее время пребывания заявки в системе, среднее время пребывания заявки в очереди. Одноканальная СМО с неограниченной очередью

Задача 6. Междугородный переговорный пункт имеет четыре телефонных аппарата. В среднем за сутки поступает 320 заявок на переговоры. Средняя длительность переговоров составляет 5 мин. Длина очереди не должна превышать 6 абонентов. Потоки заявок и обслуживаний простейшие. Определить характеристики обслуживания переговорного пункта в стационарном режиме (вероятность простоя каналов, вероятность отказа, вероятность обслуживания, среднее число занятых каналов, среднее число заявок в очереди, среднее число заявок в системе, абсолютную пропускную способность, относительную пропускную способность, среднее время заявки в очереди, среднее время заявки в системе, среднее время заявки под обслуживанием). Многоканальная СМО с ожиданием и ограниченной очередью

Задача 7. Закусочная на АЗС имеет один прилавок. Автомобили прибывают в соответствии с пуассоновским распределением, в среднем 2 автомобиля за 5 минут. Для выполнения заказа в среднем достаточно 1.5 минуты, хотя продолжительность обслуживания распределена по экспоненциальному закону. Найти: а) вероятность простоя прилавка; b) средние характеристики; c) вероятность того, что количество прибывших автомобилей будет не менее 10.

Задача 8. Рентгеновский аппарат позволяет обследовать в среднем 7 человек в час. Интенсивность посетителей составляет 5 человек в час. Предполагая стационарный режим работы, определить средние характеристики.

Задача 9. Время обслуживания в СМО подчиняется экспоненциальному закону,
m = 7требований в час. Найти вероятность того, что а) время обслуживания находится в интервале от 3 до 30 минут; b) требование будет обслужено в течение одного часа. Воспользоваться таблицей значений функции е^х.

Задача 10. В речном порту один причал, интенсивность входного потока – 5 судов в день. Интенсивность погрузочно-разгрузочных работ – 6 судов в день. Имея в виду стационарный режим работы, определить все средние характеристики системы.

Задача 11. Какое оптимальное число каналов обслуживания должна иметь СМО, если l =3, m =2, штраф за каждый отказ равен 5, а стоимость простоя одной линии равна 2?

Задача 12. Какое оптимальное число каналов обслуживания должна иметь СМО, если l =3, m =1, штраф за каждый отказ равен 7, а стоимость простоя одной линии равна 3?

Задача 13. Какое оптимальное число каналов обслуживания должна иметь СМО, если l =4, m =2, штраф за каждый отказ равен 5, а стоимость простоя одной линии равна 1?

Задача 14. Определить число взлетно-посадочных полос для самолетов с учетом требования, что вероятность ожидания должна быть меньше, чем 0.05. При этом интенсивность входного потока 27 самолетов в сутки, а интенсивность их обслуживания – 30 самолетов в сутки.

Задача 15. Сколько равноценных независимых конвейерных линий должен иметь цех, чтобы обеспечить ритм работы, при котором вероятность ожидания обработки изделий должна быть меньше 0.03 (каждое изделие выпускается одной линией). Известно, что интенсивность поступления заказов 30 изделий в час, а интенсивность обработки изделия одной линией – 36 изделий в час.

Задача 16. Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону с параметром l=5. Найти функцию распределения, характеристики и вероятность попадания с.в. Х в интервал от 0.17 до 0.28.

Задача 17. Среднее число вызовов, поступающих на АТС за одну минуту, равно 3. Считая поток пуассоновским, найти вероятность того, что за 2 минуты поступит: а) два вызова; б) меньше двух вызовов; в) не менее двух вызовов.

Задача 18. В ящике 17 деталей, из которых 4 – бракованные. Сборщик наугад извлекает 5 деталей. Найти вероятность того, что а) все извлеченные детали – качественные; б) среди извлеченных деталей 3 бракованных.

Задача 19. Сколько каналов должна иметь СМО с отказами, если l =2треб/час, m =1треб/час, штраф за каждый отказ составляет 8т.руб., стоимость простоя одной линии – 2т.руб. в час?