Полный факторный эксперимент

При изучении различных устройств и систем достаточно часто используются так называемые факторные математические модели.

Факторные модели -математические модели, отражающие зависимости выходных параметров системы от входных (внешних) параметров.

Для получения факторных моделей используется метод планирования эксперимента и регрессионный анализ. Как правило, для получения факторных моделей используется экспериментальные методы получения зависимостей между параметрами и переменными. Эксперименты при этом могут проводиться на самих объектах, на физических моделях (макетах и стендах), на полных математических моделях.

Различают эксперимент пассивный и активный.

Пассивный эксперимент – если нельзя (нет возможности) управлять необходимыми параметрами (факторами) и они принимают случайные значения. В этом случае в каждом опыте измеряют значения внешних и выходных параметров, а после проведения N опытов, полученная информация обрабатывается по правилам регрессионного анализа.

Активный эксперимент– если управляемые параметры в ходе эксперимента принимают заданные значения. Результаты опытов фиксируются и обрабатываются.

Именно активный эксперимент целесообразно проводить при оперировании полной моделью на ЭВМ. Проведение таких экспериментов осуществляется по правилам теории планирования эксперимента (метод планирования эксперимента – МПЭ).

Планирование эксперимента, как и любое планирование, предполагает поиск рациональной последовательности действий для получения данных о свойствах изучаемых объектов.

Общая форма факторной модели: Y = F (Q),

где Y – вектор выходных параметров – отклик системы, Q – вектор внешних

(управляемых) параметров – факторы.

Факторы могут быть качественные и количественные. Основными требованиями, предъявляемыми к факторам, являются управляемость и однозначность. К совокупности факторов предъявляются требования совместимости друг с другом и отсутствие линейных взаимных корреляций.

Выбор факторов, их уровней, интервалов варьирования – очень ответственный этап при подготовке к эксперименту.

Математическая модель, получаемая в ходе планирования и проведения экспериментов типа , имеет вид полинома. Полином линеен относительно неизвестных коэффициентов и это значительно упрощает обработку наблюдений (измерений).

Полином может быть 1, 2 и более высокого порядка. Коэффициенты полинома вычисляются по результатам опытов. Чем больше число коэффициентов в полиноме, тем больше количество опытов необходимо поставить для их определения.

Число коэффициентов зависит от степени полинома: чем выше степень, тем больше число коэффициентов. Так, например, для случая двух факторов:

полином 0 порядка у = b ₀;

полином 1 порядка у = b ₀ + b ₁ x ₁ + b ₂ x ₂;

полином 2 порядка y = b ₀ + b ₁ x ₁ + b ₂ x ₂ + b ₁₂ x ₁ x ₂ + b ₁₁ x₁² + b₂₂ x₂²;

полином 3 порядка y = b ₀ + b ₁ x ₁ + b ₂ x ₂ + b ₁₂ x ₁ x ₂ + b ₁₁ x₁² + b₂₂ x₂²+ b ₁₂₂ x ₁ x ₂² +

+ b ₁₁₂ x₁² х ₂+ b₁₁₁х₁³ + b ₂₂₂ х ₂³;

и т.д.

На первом этапе планирования для аппроксимации неизвестной функции отклика целесообразно использовать полином 1 порядка.

Планирование полного факторного эксперимента.

К составлению (определению) факторной модели приступают при наличии некоторых результатов предварительных исследований изучаемого объекта.

Из анализа априорной информации выбирают область эксперимента. В области эксперимента устанавливают основные уровни и интервалы варьирования факторов.

Основным (нулевым) уровнем фактора называется его значение, принятое за исходное в плане эксперимента. Основные уровни выбирают таким образом, чтобы их сочетание отвечало интересующей исследователя области функционирования систем. Сочетание основных уровней принимают за исходную точку (центр) эксперимента.

Построение плана эксперимента состоит в выборе экспериментальных точек, симметричных относительно центра эксперимента.

Интервалом варьирования фактора называется число (свое для каждого фактора), прибавление которого к основному уровню дает верхний уровень, а вычитание – нижний уровень фактора. Интервал варьирования должен быть больше той ошибки, с которой фиксируется уровень фактора, но, в то же время, не должен быть излишне большим, что верхний и нижний уровни фактора выходят за пределы области определения фактора или находятся на границах этой области.

Излишне большой интервал варьирования затрудняет возможность линейной аппроксимации функции отклика.

Для удобства кодирования записи условий эксперимента и обработки экспериментальных данных уровни факторов кодируют:

+1 (или +) обозначает верхний уровень;

–1 (или –) обозначает нижний уровень;

0 обозначает основной уровень.

Кодированное значение фактора xi определяется по формуле

где – натуральное значение i -го фактора; – натуральное значениеосновного уровня i -го фактора; – интервал варьирования i -го фактора.

При кодировании качественных факторов имеющих два уровня, обозначают +1 (или +) верхний уровень и -1 (или -) нижний уровень.

Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов, называется полным факторным экспериментом.

Если целью эксперимента является получение линейной факторной модели, то при проведении экспериментов можно обойтись варьированием факторов на двух уровнях. В этом случае, число всех сочетаний уровней факторов определяется выражением N = 2 ^k, где k-число факторов. В общем случае, при проведении экспериментов на m уровнях каждого фактора общее число опытов определяется выражением N = m^k.

Факторный эксперимент осуществляется на основе матрицы планирования эксперимента, в которой используются кодированные значения факторов.

Так, если требуется определить факторную модель при m = 2 и k = 3, то ею будет уравнение вида: y = b ₀ + b ₁ x ₁ + b ₂ x ₂ + b ₃ x ₃ + b ₁₂ x ₁ x ₂+ b ₁₃ x₁ х ₃+ b₂₃х₂х₃ + b ₁₂₃х₁ х ₂х₃;

Значения коэффициентов в этом уравнении определяются с помощью специальной математической обработки значений функции отклика y_i, полученные в результате проведения опытов.

Матрица планирования экспериментов с дополнительными построениями имеет вид:

Условия проведения опытов заданы в столбцах x₁,x₂,x₃, результаты опытов отражены в столбце y_i, остальные столбцы являются дополнительными.

При построении столбцов факторов (x₁,x₂,x₃) матрицы планирования использовано правило чередования знаков столбцах: в столбце x₁ знаки чередуются через 1, в столбце x₂ – через 2, в столбце x₃ – через 4 и т.д. Столбцы х_i х_j получены умножением элементов столбцов х_i и х_j и т.д. Столбец x₀ – столбец фиктивной переменной (x₀ – введен для унификации формул расчета коэффициентов).

Полный факторный эксперимент позволяет количественно оценить линейные эффекты и все эффекты взаимодействия факторов.

Линейным называется эффект, характеризующий линейную зависимость функции отклика от соответствующего фактора.

Эффектом взаимодействия называется эффект, характеризующий совместное влияние нескольких факторов на функцию отклика.

Попутно отметим ряд важных свойств функции планирования полного факторного эксперимента типа 2^k, которые определяют качество математических моделей.

1. симметричность относительно центра эксперимента

2. условие нормировки

3. ортогональность матрицы планирования

(сумма почленных произведений любых двух столбцов = 0);

4. ротатабельность – точность предсказания значений параметра одинакова на равных расстояниях от центра эксперимента и не зависит от направления.

Методом наименьших квадратов можно показать, что коэффициенты факторной математической модели вычисляются по формулам

Эти коэффициенты участвуют в искомой факторной модели и указывают на силу влияния факторов на функцию отклика: чем больше численная величина коэффициента, тем большее влияние оказывает фактор на функцию отклика. Знак коэффициента указывает на то, как влияет фактор – увеличивает или уменьшает функцию отклика.

Ортогональность матрицы планирования позволяет получить независимые друг от друга оценки коэффициентов, т.е. величина любого коэффициента не зависит от того, какие величины имеют другие коэффициенты.

Следует иметь в виду, что данные коэффициенты соответствуют вкладу фактора в функцию отклика при переходе фактора с нулевого уровня на верхний или нижний уровень в данной точке (центре) эксперимента. В другом центре эксперимента они могут быть другими.