Курсовая работа. Исследование преобразований аддитивной смеси сигнала и шума в типовых каскадах радиоканала

Исследование преобразований аддитивной смеси сигнала и шума в типовых каскадах радиоканала

Пояснительная записка

Вариант № 28

Выполнил:

ст-т гр. Р53-4

Д. С. Титов

Проверил:

В. Б. Кашкин

Красноярск 2005

Содержание

Введение…………………………………………………………………………….3

1. Задание……………………………………………………………………………4

2. Определение статистических характеристик суммарного процесса на входе амплитудного детектора……………………………………………………………5

3. Определение статистических характеристик суммарного процесса на выходе амплитудного детектора………………………………………………………..…14

4. Определение статистических характеристик суммарного процесса на выходе усилителя низкой частоты ………………………………………………………..20

Выводы по работе………………………………………………………………….23

Список используемой литературы………………………………………………..24

Введение

Функциональная схема анализируемого устройства содержит последовательно соединенные первый безынерционный усилитель, узкополосный фильтр, нелинейную цепь, второй безынерционный усилитель и фильтр низкой частоты (ФНЧ). схема анализируемого устройства содержит последовательно соединенные первый безынерционный усилитель, узкополосный фильтр, нелинейную цепь, второй безынерционный усилитель и фильтр низкой частоты (ФНЧ). Второй безынерционный усилитель и ФНЧ являются усилителем нижних частот (УНЧ) и предназначены для усиления информационного сообщения и его выделения из шумов.

На вход анализируемого устройства воздействует аддитивная смесь гармонического сигнала и белого гауссового шума с энергетическим спектром W0, т.е. x(t)=U_m•cos(ω₀t+φ₀)+ξ(t).

Информационное сообщение представляет собой постоянную, априорно неизвестную величину, измеряемую в шумах, и расчет сводится к решению классической задачи оценки помехоустойчивости приема сигналов. Погрешность в оценке информационного сообщения определяется величиной математического ожидания и дисперсией шума на выходе УНЧ.

1 Задание

1) Найти отношение сигнал/шум на входе амплитудно-квадратического детектора (АК), найти энергетический спектр, функцию корреляции, функцию распределения процесса на выходе усилителя промежуточной частоты. Определить время корреляции, (аналитически и графически) и ширину энергетического спектра.

2) Найти отношение сигнал/шум на выходе АК, найти энергетический спектр, функцию корреляции, функцию распределения процесса на выходе АК. Определить время корреляции, (аналитически и графически) и ширину энергетического спектра.

3) Найти отношение сигнал/шум на выходе УНЧ, найти энергетический спектр, функцию корреляции. Определить время корреляции, (аналитически и графически) и ширину энергетического спектра.

2 Определение статистических характеристик суммарного процесса на входе амплитудного детектора

Исходные данные:

Энергетический спектр шума: W₀=6∙10^-14 В²∙рад/с

Полоса пропускания УПЧ: Δω=60 рад/с

Полоса пропускания УНЧ: ΔΩ=20 рад/с

Амплитуда входного сигнала: U_m=10^-5 В

Коэффициент усиления УПЧ: К_пч=3∙10⁴

Коэффициент усиления УНЧ: К_нч=30

Частота сигнала; ω0≈100Δω

Рисунок 2.1 Структурная схема анализируемого устройства

Амплитудно-частотная характеристика усилителя промежуточной частоты:

(2.1)

Графически эта зависимость показана на рисунке 2.2

Рисунок 2.2 АЧХ УПЧ

Исходя из графика можно сделать вывод, что на выходе УПЧ шум будет узкополосным.

Амплитудно-частотная характеристика усилителя низкой частоты:

(2.2)

Графически эта зависимость показана на рисунке 2.3

Рисунок 2.3 АЧХ УНЧ

Видно, что УНЧ подавляет все частоты, которые превышают 20 рад/с.

Найдем плотность вероятности шума на входе УПЧ.

Для этого найдем дисперсию шума на входе УПЧ как частное значение корреляционной функции К(0) /1, с. 146/.

, (2.3)

где W0 – энергетический спектр шума на входе УПЧ.

Среднеквадратическое отклонение: σ0=√К(0) σ=5,164•10^-6 В

Дисперсия: D0=К(0) D=2,667•10^-11 В²

Зная среднеквадратическое отклонение шума на входе УПЧ можно построить график плотности вероятности по формуле /1, с. 141/:

(2.4)

Графически эта зависимость показана на рисунке 2.4

Рисунок 2.4 Плотность вероятности шума на входе УПЧ

По графику видно, что распределение гауссовское.

Зная сигнал на входе УПЧ:

(2.5)

Найдем спектральную плотность сигнала<span style="mso-spacerun: yes"> </span>на входе УПЧ по формуле /1, с. 73/:

(2.6)

Графически эта зависимость показана на рисунке 2.5

Рисунок 2.5 спектральная плотность сигнала<span style="mso-spacerun: yes"> </span>на входе УПЧ

Спектральная плотность сигнала представляет собой две дельта-функции, соответствующие частотам -6000 и 6000 рад/с.

Найдем энергетический спектр сигнала на входе УПЧ по формуле /1, с. 49/:

(2.7)

Рисунок 2.6 Энергетический спектр сигнала<span style="mso-spacerun: yes"> </span>на входе УПЧ

Энергетический спектр сигнала тоже представляет собой две дельта-функции, соответствующие частотам -6000 и 6000 рад/с.

Найдем энергетический спектр шума на выходе УПЧ по формуле /1/:

(2.8)

Графически эта зависимость показана на рисунке 2.7

Рисунок 2.7 Энергетический спектр шума на выходе УПЧ

По графику видно, что на выходе УПЧ шум узкополосный, с максимальным значением энергетического спектра соответствующего -6000 и 6000 рад/с.

Для нахождения автокорреляционной функции (АКФ) сигнала на выходе УПЧ воспользуемся формулой /3, с. 5/:

(2.9)

Графически эта зависимость показана на рисунке 2.8

Рисунок 2.8 АКФ сигнала на выходе УПЧ

Видно, что огибающей АКФ сигнала будет прямая линия.

Нормированная АКФ сигнала на выходе УПЧ:

(2.10)

Графически эта зависимость показана на рисунке 2.9

Рисунок 2.9 Нормированная АКФ сигнала на выходе УПЧ

Корреляционная функция сигнала не убывает с возрастанием τ, это связано стем, что бесконечно узкому спектру сигнала соответствует бесконечно большое время корреляции.

АКФ шума на выходе УПЧ найдем используя формулу /3, с. 5/ и /1, с. 419/:

(2.11)

где σ1² – дисперсия шума на выходе УПЧ.

Рисунок 2.10 АКФ шума на выходе УПЧ

Видно, что максимальное значение АКФ составляет порядка 2,5•10^-6 В², что на четыре порядка меньше АКФ полезного сигнала.

Нормированная АКФ шума на выходе УПЧ:

(2.12)

Рисунок 2.11 Нормированная АКФ шума на выходе УПЧ

По графику видно, что время корреляции конечно, и составляет τ_к≈0,04 с.

Найдем АКФ смеси сигнала и шума как сумму АКФ сигнала и АКФ шума:

(2.13)

Рисунок 2.12 АКФ суммарного процесса на выходе УПЧ

По графику видно, что АКФ смеси сигнала и шума практически не отличается от АКФ сигнала, т.к. уровень сигнала значительно больше уровня шума.

Найдем нормированную огибающую суммарной АКФ по формуле:

, (2.14)

где К(τ)–корреляционная функция сигнала на выходе УПЧ;

К1(τ)–корреляционная функция шума на выходе УПЧ.

Графически эта зависимость показана на рисунке 2.13

Рисунок 2.13 Нормированная огибающая суммарной АКФ

Найдем плотность вероятности шума на выходе УПЧ.

Для этого найдем дисперсию шума на выходе УПЧ как частное значение корреляционной функции К1(0) /1, с. 146/.

(2.15)

где W2 – энергетический спектр шума на выходе УПЧ.

Среднеквадратическое отклонение: σ1=√К1(0) σ=1,562•10^-3 В

Дисперсия: D1=К1(0) D=2,439•10^-6 В²

Зная среднеквадратическое отклонение шума на выходе УПЧ можно построить график плотности вероятности:

(2.16)

Графически эта зависимость показана на рисунке 2.14

Рисунок 2.14 Плотность вероятности шума на выходе УПЧ

Зная дисперсию шума: D1=К1(0)=2,439•10^-6 В², найдем отношение сигнал/шум на выходе УПЧ:

(2.17)

(2.18)

Отношение сигнал/шум на выходе УПЧ равно 9224.

Эффективное время корреляции шума /3, с. 9/:

(2.19)

где R(τ)–нармированная корреляционная функция шума на выходе УПЧ.

Эффективная ширина спектра шума на выходе УПЧ находится по формуле /3, с. 9/:

(2.20)

В нашем случае будет:

, (2.21)

причем:

(2.22)

В результате получаем эффективную ширину спектра шума Δfe=92 Гц.

3 Определение статистических характеристик случайного процесса на выходе амплитудного квадратичного детектора

Плотность вероятности шума на выходе амплитудного детектора найдем по формуле /1, с. 410/

(3.1)

где

, (3.2)

(3.3)

Подставляя эти выражения в исходное получим плотность вероятности шума на выходе амплитудного детектора:

(3.4)

где σ1² – дисперсия шума на выходе УПЧ;

Um1–амплитуда напряжение на выходе УПЧ.

Графически эта зависимость показана на рисунке 3.1

Рисунок 3.1 Плотность вероятности шума на выходе АК

По графику видно, что полученое распределение экспоненциальное.

Энергетический спектр шума на выходе АК определим по формуле /1, с. 419/:

(3.5)

Графически эта зависимость показана на рисунке 3.2

Рисунок 3.2 Энергетический спектр шума на выходе АК

По графику видно, что энергетический спектр шума на выходе АК имеет бесконечно большое значение соответствующее ω=0, а при увеличении ω убывает.

Зная энегретический спектр шума на выходе АК и используя преобразование Винера-Хинчина, найдем корреляционную функцию шума на выходе АК /1, с. 146 /:

, (3.6)

где W3(ω) – энергетический спектр шума на выходе АК.

Рисунок 3.3 Корреляционная функция шума на выходе АК

Найдем нормированную корреляционную функцию шума на выходе АК по формуле:

(3.7)

Графически эта зависимость показана на рисунке 3.4

Рисунок 3.4 Нормированная корреляционная функция шума на выходе АК

Энергетический спектр суммарного процесса на выходе АК находим как сумму энергетического спектра шума и энергетического спектра полезного сигнала.

Энергетический спектр суммарного процесса на выходе АК /1, с. 64/:

(3.8)

Графически эта зависимость показана на рисунке 3.5

Рисунок 3.5 Энергетический спектр суммарного процесса на выходе АК

Энергетический спектр суммарного процесса на выходе АК такой же как энергетический спектр шума на выходе АК. Это связано с тем, что полезный сигнал на выходе АК представляет собой постоянное напряжение.

Найдем отношение сигнал/шум на выходе АК.

Сумарный сигнал на входе АК представляет собой сумму полезного сигнала и узкополосного шума:

, (3.9)

иначе можно записать:

, (3.10)

где

, (3.11)

(3.12)

Выходное напряжение квадратично зависит от входного:

, (3.13)

далее α не учитывается т.к коэффициент детектирования равен 1.

Смесь сигнала и шума на выходе:

(3.14)

Шум на выходе:

(3.15)

Сигнал на выходе находим как приращение между смесью сигнала и шума на выходе и шума на выходе:

, (3.16)

учитывая, что

, (3.17)

(3.18)

Дисперсия шума на выходе квадратичного детектора:

(3.19)

Отношение сигнал/шум находим по формуле /1, с. 423/:

, (3.20)

(3.21)

где σ1–среднеквадратическое отклонение на входе АК,

Um1–амплитуда напряжения на входеАК.

При прохождении смеси сигнала и шума через АК отношение сигнал/шум уменьшилось в 2 раза, произошло подавление сигнала помехой.

Плотность вероятности смеси сигнала и шума на выходе амплитудного детектора найдем по формуле /1, с. 421/

(3.22)

В

Графически эта зависимость показана на рисунке 3.6

Рисунок 3.6 Плотность вероятности суммарного процесса на выходе АК

По графику видно, что наиболее вероятное значение амплитуды выходного напряжения соответствует постоянному напряжению полезного сигнала.

Эффективная ширина спектра шума на выходе АК будет в √2 раз больше чем на его входе/1, с. 417/ Δfe=130 Гц.

Эффективное время корреляции шума /3, с. 9/:

(3.23)

4 Определение статистических характеристик случайного процесса на выходе усилителя низкой частоты

Энергетический спектр шума на выходе УНЧ:

(4.1)

где W3(ω) – энергетический спектр шума на выходе АК.

Рисунок 4.1 Энергетический спектр шума на выходе УНЧ

По графику видно, что в энергетическом спектре нет составляющих с частотами более 20 рад/с. УНЧ сильно уменьшил ширину энергетического спектра шума. Полезный сигнал подавлен не был т.к полезный сигнал на входе УНЧ представляет собой постоянное напряжение

Нормированная корреляционная функция шума на выходе УНЧ находится через преобразование Винера-Хинчина /1, с. 146/ и последующим ее нормированием:

(4.2)

Графически эта зависимость показана на рисунке 4.2

Рисунок 4.2 Нормированная корреляционная функция шума на выходе УНЧ

По графику видно, что время корреляции стало равным приблизительно 0,15 с.

Следовательно при сужении спектра, время корреляции увеличивается.

Т.к. полезный сигнал на входе УНЧ представляет собой постоянное напряжение, то его энергетическим спектром будет дельта-функция, соответствующая нулевой частоте.

(4.3)

Рисунок 4.3. Энергетический спектр сигнала на выходе УНЧ

Отношение сигнал/шум на выходе УНЧ.

Значение корреляционной функции в нуле будет:

Зная среднеквадратическое отклонение найдем соотношение сигнал/шум на выходе УНЧ.

(4.4)

где Um2–амплитуда полезного сигнала на выходе УНЧ;

Um1–амплитуда полезного сигнала на выходе УПЧ.

Um1 возводится в квадрат т.к. напряжение на выходе АК квадратично зависит от напряжения на его входе.

Отношение сигнал/шум на выходе УНЧ:

(4.5)

При прохождении смеси сигнала и шума через УНЧ произошло увеличение отношения сигнал/шум.

Эффективное время корреляции шума на выходе УНЧ /3, с. 9/:

(4.6)

Эффективная ширина спектра шума на выходе УНЧ ограничиваться полосой частот, которые пропускает УНЧ, следовательно Δfe=40 Гц.