Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
Означення похідної
Нехай на проміжку (a, b) визначена деяка функція y = f (x). Візьмемо будь–
яке значення x з цього проміжку і надамо йому приросту x. Різницю
f f (x t) f (t)
називають приростом функції в точці x. Приріст аргументу x 0 може
набувати як додатних, так і від’ємних значень, але так, що значення x x не
виходить за межі області визначення функції f (x).
Похідною функції y = f (x)в точці x називають границю(якщо вона існує)
відношення приросту функції f f (x t) f (t) до приросту аргументу x, коли останній прямує до нуля, тобто
| f '(x) lim | f (x t) f (t) | ||
| t | |||
| t 0 |
Функцію, яка має скінчену похідну в точці x, називають диференційовною в цій точці. Обчислення похідної називають диференціюванням.
Позначення похідної: y ' (x), f ' (x) (за Лагранжем) або dy, df (за Лейбніцем).
  dx
| dx |
| З означення похідної випливає, що похідна y ' (x) в точці x | є числом. Але якщо |
таке число існує для кожної внутрішньої точки проміжку (a, b), то похідну можна розглядати як функцію точки x з даного проміжку.
| Якщо | lim | f (x t) f (t) | , тоді функція f (x) має в точці x | нескінченну | |||||||||||||
| t 0 | t | ||||||||||||||||
| похідну. | |||||||||||||||||
| 3. Геометричний, фізичний та механічний зміст похідної | y = f (x)в | ||||||||||||||||
| Дамо геометричне тлумачення похідної. Розглянемо графік функції | |||||||||||||||||
| (x 0; f (x 0)), | |||||||||||||||||
| а P – точка | графіка | з координатами x 0 x; f (x 0 x). Пряму, проведену | |||||||||||||||
| через точки P 0 | і P, називають січною. Якщо при необмеженому наближенні точки | ||||||||||||||||
| P за графіком функції y = f (x) | до точки P 0 січна P 0 P наближається | до певного | |||||||||||||||
| граничного положення ( | пряма | P 0 K),то це граничне положення січної називають | |||||||||||||||
| дотичною до кривої y = | f (x)в точці P 0. | ||||||||||||||||
| Нехай α– кут, | який утворює дотична з додатним напрямом осі Ox, а β– кут між | ||||||||||||||||
| січною P 0 P і віссю Ox. З прямокутного трикутника P 0 QP випливає, що | |||||||||||||||||
| tg | PQ | y | f (x 0 x) f (x 0) | ||||||||||||||
| P 0 Q | x | ||||||||||||||||
| x | |||||||||||||||||
| Тоді існує границя | |||||||||||||||||
| y '(x 0) lim | f (x 0 x) f (x 0) | lim tg tg | |||||||||||||||
| xx 0 | x | x 0 | |||||||||||||||
| P P 0 | |||||||||||||||||
| Геометричний зміст похідної такий | : похідна функції y = f (x) | у точці x 0 | |||||||||||||||
дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка даної функції у відповідній точці, тобто
| f | (x 0) tg | ||||
| де – | кут, який утворює дотична до графіка функції в точці x 0 з додатним |
напрямом осі Ox.
Рівняння дотичної, проведеної до графіка функції y = f (x) у точці P 0 (x 0, y 0) має вигляд
| y y 0 f (x 0)(x x 0) | де y 0 = f (x 0). | ||||||||
| Нормаллю до кривої | називають пряму, що проходить через точку дотику, | ||||||||
| перпендикулярно до дотичної (на рисунку 1– це пряма P 0 N). Рівняння нормалі: | |||||||||
| y y 0 | (x x 0) | ||||||||
| f | |||||||||
| ' (x 0) | |||||||||
| Якщо | функція | y = f (x) | описує деякий фізичний процес, то похідна y ' є | ||||||
| швидкістю зміни цього процесу. В цьому полягає фізичний зміст похідної. | |||||||||
| у | N | y = f (x) | |||||||
| P | |||||||||
| f (x 0+Δ x) | |||||||||
| К | |||||||||
| y | |||||||||
| f (x 0) | P0 | Q | |||||||
| x | х |
О 
x 0 x 0+Δ x
Рис.1
Іншими словами, яку б залежність не відображала функція y = f (x), відношення
| y | можна розглядати як середню | швидкість | зміни | функції | y відносно | |||||||||||||||
| x | ||||||||||||||||||||
| аргументу x, а похідну f ' (x) – миттєву швидкість зміни цієї функції. | ||||||||||||||||||||
| Механічний зміст похідної. Якщо | S = S (t) – | закон | руху матеріальної точки | |||||||||||||||||
| від часу t), то похідна | ||||||||||||||||||||
| (тобто задається залежність пройденого точкою шляху | S | |||||||||||||||||||
| S '(t)– | це швидкість v точки в момент часу t; | друга похідна | S ''(t) | – миттєве | ||||||||||||||||
| прискорення a точки в момент t, тобто | ||||||||||||||||||||
| v (t) S '(t), | a (t) v '(t) S ''(t). | |||||||||||||||||||
| 4. Основні правила диференціювання.Нехай | u (x), | v (x), – | диференційовні в | |||||||||||||||||
| точці х функції, С – стала. | ||||||||||||||||||||
| u v | u v | u v u v v u | ||||||||||||||||||
| u | u v v u | |||||||||||||||||||
| C u C u | ||||||||||||||||||||
| v 2 | ||||||||||||||||||||
| v | ||||||||||||||||||||
5. Таблиця похідних (формули диференціювання основних елементарних функцій)
| C 0, (C const) | x 1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (xn) nxn 1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| x 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| x | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| n | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| x | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| x | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| n n xn 1 | x | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ax ax ln a | ex | ex | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| log a | x | ln x | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| x ln a | x | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| sin x | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| sin x cos x | cos x | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| tgx | ctgx | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| cos2 x | sin | 2 x | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| arcsin x | arccos x | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 1 x 2 | 1 x 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| arctgx | arcctgx | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 1 x 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 1 x 2 |
Похідна складеної функції. Таблиця похідних
Якщо функція y = f (u) має похідну в точці u, а функція u = g (x) – в точці x,
то складена функція y = f (g (x)) диференційована в точці x, причому
y ' f '(u) g '(x)
Іншими словами, похідна складеної функції y = f (u), u = g (x) дорівнює добутку
похідної від зовнішньої функції, взятої по внутрішньому аргументу u, і похідної від внутрішньої функції, взятої по незалежній змінній x.
Date: 2015-12-13; view: 316; Нарушение авторских прав; Помощь в написании работы --> СЮДА... |