Предельные теоремы

Задание 5.1. Неравенства Чебышёва и закон больших чисел. Решить задачу.

1. В результате 100 независимых опытов найдены значения случайной величины X: , , …, . При этом математическое ожидание и дисперсия . Оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между средним арифметическим наблюдаемых значений случайной величины и её математическим ожиданием будет меньше 0,5.

2. В урне 1000 белых и 2000 чёрных шаров. Вынули (с возвращением) 300 шаров. Оценить вероятность того, что число извлечённых при этом белых шаров удовлетворяет двойному неравенству .

3. Монету подбрасывают 1000 раз. Оценить вероятность отклонения частоты появления «герба» от вероятности его появления менее чем на 0,1.

4. В каждой из двух урн имеется по 10 шаров с номерами от 1 до 10. Испытание заключается в вынимании (с последующим возвращением) из каждой урны по шару. Случайная величина X – сумма номеров шаров, вынутых из двух урн. Произведено 100 испытаний. Оценить вероятность попадания суммы в интервал .

5. Игральную кость подбрасывают 10000 раз. Оценить вероятность отклонения частоты появления шести очков от вероятности появления того же числа очков менее чем на 0,01.

6. В урне 100 белых и 100 чёрных шаров. Вынули (с возвращением) 50 шаров. Оценить вероятность того, что число извлеченных при этом белых шаров удовлетворяет двойному неравенству .

7. Пусть в результате 200 независимых опытов найдены значения случайной величины X: , , …, , причем . Оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между средним арифметическим наблюдаемых значений случайной величины и её математическим ожиданием будет меньше 0,2.

8. Среднее количество вызовов, поступающих на коммутатор завода в течение часа, равно 300. Оценить вероятность того, что в течение следующего часа число вызовов на коммутатор: а) будет не менее 400; б) будет не более 500.

9. Сумма всех вкладов в отделение банка составляет 2 млн. руб., а вероятность того, что случайно взятый вклад не превысит 10 тыс. руб., равна 0,6. Что можно сказать о числе вкладчиков?

10. Средний расход воды на животноводческой ферме составляет 1000 л в день, а среднее квадратическое отклонение этой случайной величины не превышает 200 л. Оценить вероятность того, что расход воды на ферме в любой выбранный день не превзойдет 2000 л.

11. Вероятность выхода с автомата стандартной детали равна 0,96. Оценить вероятность того, что число бракованных среди 2000 деталей находится в границах от 60 до 100 (включительно).

12. По статистическим данным в среднем 87 % новорождённых доживают до 50 лет. Оценить вероятность того, что из 1000 новорождённых доля доживших до 50 лет будет отличаться от вероятности этого события не более чем на 0,04 (по абсолютной величине).

13. Для определения средней продолжительности горения электроламп в партии из 200 одинаковых ящиков было взято на выборку по одной лампе из каждого ящика. Оценить вероятность того, что средняя продолжительность горения отобранных 200 электроламп отличается от средней продолжительности горения ламп всей партии не более чем на 5 ч (по абсолютной величине), если известно, что среднее квадратическое отклонение продолжительности горения ламп в каждом ящике меньше 7 ч.

14. Сколько надо провести измерений данной величины, чтобы с вероятностью не менее 0,95 гарантировать отклонение среднего арифметического этих измерений от истинного значения величины не более чем на 1 (по абсолютной величине), если среднее квадратическое отклонение каждого из измерений не превосходит 5?

15. Суточный расход электроэнергии для личных нужд в населённом пункте составляет в среднем 4000 кВт·ч. Оценить вероятность того, что в ближайшие сутки расход электроэнергии в этом населённом пункте не превысит 10000 кВт·ч.

16. Согласно данным статистической службы региона в среднем 10 % трудоспособного населения составляют безработные. Оценить вероятность того, что уровень безработицы среди обследованных 10000 трудоспособных жителей региона будет в пределах от 9 до 11 %.

17. Вероятность того, что при опускании одного жетона приёмник игрального автомата сработает правильно, равна 0,95. Оценить минимальное число жетонов, при опускании которых в игральный автомат частота правильной работы автомата была бы заключена в границах от 0,93 до 0,97 включительно с вероятностью не менее 0,93.

18. Согласно данным статистической службы области 5,5 % трудоспособного населения составляют безработные. Оценить вероятность того, что в случайно отобранной группе из 1000 трудоспособных доля безработных будет заключена в границах от 0,045 до 0,065.

19. Количество воды, необходимое в течение суток предприятию для технических нужд, является случайной величиной, математическое ожидание которой равно 125 м³. Оценить вероятность того, что в ближайшие сутки расход воды на предприятии будет меньше 500 м³.

20. Опыт работы рекламной компании показывает, что адресная реклама приводит к заявке в одном из 20 случаев. Компания разослала 1000 рекламных проспектов. Найти вероятность того, что число заявок окажется не менее 30 и не более 70.

21. Размер выплаты каждому клиенту банка случаен. Средняя выплата одному клиенту составляет 5000 единиц, а среднее квадратическое отклонение – 2000 единиц. Выплаты отдельным клиентам независимы. Сколько должно быть наличных денег в банке, чтобы с вероятностью 0,95 денег хватило на обслуживание 60 клиентов?

22. Размер выплаты каждому клиенту банка случаен. Средняя выплата одному клиенту составляет 5000 единиц, а среднее квадратическое отклонение – 2000 единиц. Выплаты отдельным клиентам независимы. В начале операционного дня в банке было 350000 единиц наличных денег. Каков будет гарантированный с вероятностью 0,95 остаток наличных денег в банке после выплаты денег 60 клиентам?

23. Торговая фирма продала 1000 единиц товара, получая при этом прибыль по 50 рублей с каждой единицы. Гарантийный ремонт фирма осуществляет своими силами и терпит при этом убыток в 200 рублей. Найти границы минимального по длине интервала, внутри которого с вероятностью 0,9545 заключён доход фирмы, если в среднем гарантийный ремонт приходится делать в каждом десятом случае.

24. Скорость ветра в течение суток в данной местности является случайной величиной, математическое ожидание которой равно 6 м/с. Оценить вероятность того, что в ближайшие сутки скорость ветра в этой местности будет меньше 16 м/с.

25. Дисперсия отдельного результата измерения случайной величины не превосходит 3. Производится 1000 независимых измерений этой величины. Какие границы можно гарантировать с вероятностью 0,95 для результата измерения среднего арифметического этих величин?

26. Среднее изменение курса акций компании составило 1 % (в течение одних биржевых торгов), а среднее квадратическое отклонение оценивается как 0,5 %. Оценить вероятность того, что на ближайших торгах курс изменится менее чем на 2 %.

27. Статистические исследования, проведённые учебным отделом университета, показали, что среднее время опоздания студента на лекцию составляет 1 минуту. Оценить вероятность того, что студент опоздает на лекцию не менее чем на 5 минут.

28. Статистические исследования, проведённые учебным отделом университета, показали, что среднее время опоздания студента на лекцию составляет 1 минуту. Дополнительно установлено, что среднее квадратическое отклонение времени опоздания студента на лекцию составляет также 1 минуту. Оценить минимальное значение x, при котором , где X – случайное время опоздания студента на лекцию.

29. Электростанция обслуживает сеть на 1600 электроламп, вероятность включения каждой из которых вечером равна 0,9. Оценить вероятность того, что число ламп, включенных в сеть вечером, отличается от своего математического ожидания не более чем на 100 (по абсолютной величине).

30. Вероятность того, что акции, переданные на депозит, будут востребованы, равна 0,08. Оценить вероятность того, что среди 1000 клиентов от 70 до 90 востребуют свои акции.

Задание 5.2. Интегральная теорема Муавра – Лапласа. Проводится n независимых испытаний, в каждом из которых событие A наступает с вероятностью p и не наступает с вероятностью . Пусть X – число успехов в n испытаниях. Найти вероятность того, что .

Исходные данные к заданию 5.2

№	n	p			№	n	p
		0,1					0,1
		0,2					0,2
		0,3					0,3
		0,4					0,4
		0,2					0,2
		0,2					0,4
		0,1					0,8
		0,2					0,9
		0,4					0,1
		0,8					0,2
		0,1					0,4
		0,2					0,8
		0,3					0,9
		0,4					0,1
		0,2					0,2

Задание 5.3. Локальная и интегральная теоремы Муавра – Лапласа. Решить задачу.

1. На первом курсе университета учится 270 студентов-юношей. Какова вероятность того, что не менее 25 из них носят имя Александр, если по статистике это имя встречается у каждого девятого юноши?

2. В большом городе в год рождается 20000 детей. Считая вероятность рождения мальчика , найти такое число t, чтобы с вероятностью 0,99 можно было утверждать, что среди рождённых в течение года в этом городе детей число мальчиков превышает число девочек не менее чем на t.

3. Сколько надо произвести бросаний «правильной» монеты, чтобы с вероятностью 0,99 относительная частота выпадения «герба» отличалась от 0,5 не более чем на 0,01?

4. В таблице случайных чисел каждая цифра появляется независимо от других с вероятностью 0,1. Сколько надо набрать таких случайных чисел, чтобы с вероятностью 0,999 среди них появилось не менее 100 нулей?

5. Из таблицы случайных чисел отобрано 600 чисел. Какова вероятность того, что среди отобранных будет не менее 210 чисел, делящихся на три?

6. Вероятность того, что при опускании одного жетона приёмник игрального автомата сработает правильно равна 0,95. Найти минимальное число жетонов, такое, чтобы при опускании их в игральный автомат частота правильной работы автомата была бы заключена в границах от 0,93 до 0,97 включительно с вероятностью не менее 0,93.

7. Имеется 100 одинаковых станков, каждый из которых работает 20 % рабочего времени. Оценить вероятность того, что в произвольный момент времени окажутся работающими от 28 до 36 станков.

8. В некоторой области из каждых 100 семей 80 имеют хотя бы один личный автомобиль. Найти вероятность того, что из 400 семей 300 имеют хотя бы один личный автомобиль.

9. По статистическим данным, в среднем 87 % новорождённых доживают до 50 лет. Найти вероятность того, что из 1000 новорождённых доля доживших до 50 лет будет заключена в пределах от 0,9 до 0,95.

10. По статистическим данным, в среднем 87 % новорождённых доживают до 50 лет. При каком числе новорождённых с надёжностью 0,95 доля доживших до 50 лет будет заключена в границах от 0,86 до 0,88?

11. В результате проверок налоговыми инспекциями установлено, что в среднем каждое третье малое предприятие региона имеет нарушение финансовой дисциплины. Найти вероятность того, что M малых предприятий из 1000, зарегистрированных в регионе, имеют нарушения финансовой дисциплины. Здесь M – наивероятнейшее число предприятий-нарушителей.

12. В страховой компании 10000 клиентов. Страховой взнос каждого клиента составляет 1000 руб. При наступлении страхового случая, вероятность которого (по имеющимся данным и оценкам экспертов) можно считать равной 0,005, страховая компания обязана выплатить клиенту страховую сумму размером 8000 руб. На какую прибыль может рассчитывать страховая компания с надежностью 0,95?

13. Аудиторную работу по теории вероятностей с первого раза успешно выполняют 40 % студентов. Найти вероятность того, что из 400 студентов работу успешно выполнят не менее 180 студентов.

14. В результате проверки качества приготовленных для посева семян гороха установлено, что в среднем 90 % всхожи. Сколько нужно посеять семян, чтобы с вероятностью 0,991 можно было ожидать, что доля взошедших семян отклонится от вероятности взойти каждому семени не более чем на 0,03 (по абсолютной величине)?

15. Вероятность того, что дилер, торгующий ценными бумагами, продаст их, равна 0,7. Сколько должно быть ценных бумаг, чтобы с вероятностью 0,996 можно было утверждать, что доля проданных среди них отклонится от 0,7 не более чем на 0,04 (по абсолютной величине)?

16. У страховой компании имеются 10000 клиентов. Каждый из них, страхуясь от несчастного случая, вносит 700 руб. Вероятность несчастного случая 0,0055, а страховая сумма, выплачиваемая пострадавшему, составляет 6000 руб. Какова вероятность того, что страховая компания потерпит убыток?

17. По статистическим данным, в среднем 87 % новорождённых доживают до 50 лет. Найти вероятность того, что из 1000 новорождённых доля доживших до 50 лет будет отличаться от вероятности этого события не более чем на 0,02.

18. При массовом производстве 5 % выпускаемой продукции выходит в брак. Сколько изделий нужно отобрать для проверки качества, чтобы с вероятностью 0,95 можно было утверждать, что в случайной партии изделий брак составляет 5 ± 2 %?

19. У страховой компании имеются 10000 клиентов. Каждый из них, страхуясь от несчастного случая, вносит 700 руб. Вероятность несчастного случая 0,0055, а страховая сумма, выплачиваемая пострадавшему, составляет 6000 руб. Какова вероятность того, что на выплату страховых сумм уйдёт более половины средств, поступивших от клиентов?

20. Строительная фирма, занимающаяся установкой летних коттеджей, раскладывает рекламные листки по почтовым ящикам. Прежний опыт работы компании показывает, что примерно в одном случае из двух тысяч следует заказ. Найти вероятность того, что при размещении 100 тыс. листков число заказов будет равно 48.

21. Исследованиями установлено, что 20 % школьников не знают правил уличного движения. В случайной выборке 1600 учеников. Сколько учеников знают правила уличного движения с гарантией 95 %?

22. Согласно данным статистической службы области, 5,5 % трудоспособного населения составляют безработные. Найти вероятность того, что в случайно отобранной группе из 1000 трудоспособных доля безработных будет заключена в границах от 0,045 до 0,065.

23. В среднем каждый 90-й телевизор, выпускаемый заводом, выходит из строя до окончания гарантийного срока. Найти вероятность того, что из 3000 выпущенных заводом телевизоров не более 25 поступит в гарантийный ремонт.

24. Опыт работы рекламной компании показывает, что адресная реклама приводит к заявке в одном из 20 случаев. Компания разослала 1000 рекламных проспектов. Найти вероятность того, что число заявок окажется не менее 30 и не более 70.

25. Выход цыплят в инкубаторе составляет 75 % числа заложенных яиц. Найти вероятность того, что из 1000 заложенных яиц вылупятся M цыплят, где M – наивероятнейшее число вылупившихся цыплят.

26. При обследовании уставных фондов банков установлено, что банков имеют уставный фонд свыше 100 млн руб. Найти вероятность того, что среди 1800 банков не менее 320 имеют уставный фонд свыше 100 млн руб.

27. В продукции фабрики 15 % составляют изделия второго сорта. Магазин получил 1000 изделий. Какова вероятность того, что в полученной партии продукция второго сорта составит 15 ± 2 %?

28. Строительная фирма, занимающаяся установкой летних коттеджей, раскладывает рекламные листки по почтовым ящикам. Прежний опыт работы компании показывает, что примерно в одном случае из двух тысяч следует заказ. Найти вероятность того, что при размещении 100 тыс. листков число заказов будет находиться в границах от 45 до 55.

29. При массовом производстве обуви брак составляет 4 % выпускаемой продукции. Сколько изделий нужно отобрать для проверки качества продукции, чтобы с вероятностью 0,9 можно было утверждать, что в случайном наборе обуви доля брака по абсолютной величине отличается от 4 % не более чем на 1 %?

30. Известно, что на предприятиях электронной промышленности четверть рабочих имеет степень бакалавра. Для некоторого обследования наудачу выбрано 5000 рабочих. Найти наивероятнейшее значение числа рабочих-бакалавров и вероятность того, что число таких рабочих отклонится от наивероятнейшего не более чем на 1,6 %.

Задание 5.4. Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Известно, что p процентов жителей нашего города поддерживают некоторое мероприятие. Какова вероятность того, что при опросе наугад n жителей не менее k из них выскажутся в поддержку мероприятия.

Исходные данные к заданию 5.4

Задание 5.5. Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Медицинская страховка туриста стоит 300 рублей. При наступлении страхового случая (травма, заболевание и т.д.) турист получает страховку m тыс. рублей. Страховая компания застраховала n туристов. Вероятность наступления страхового случая для каждого туриста равна p. Какова вероятность того, что страховая компания потерпит убытки от этого вида страховой деятельности? Какова вероятность того, что доход компании от этого вида страховой деятельности превысит 10 k тыс. рублей в вариантах 1 – 15, и превысит 5 k в вариантах 16 – 30, где k – номер варианта?

Исходные данные к заданию 5.5

Задание 5.6. Формула Пуассона. При дальней радиосвязи из-за помех каждый сигнал независимо от других с вероятностью p может быть принят ошибочно. Передано n сигналов. Какова вероятность того, что k из них будут приняты ошибочно? Какова вероятность ошибочного приёма не менее k сигналов?

Исходные данные к заданию 5.6

Задание 5.7. Формула Пуассона. Каждое изделие независимо от других стандартно с вероятностью p. Произведено n изделий. Какова вероятность того, что k из них стандартны?

Исходные данные к задаче 5.7

Задание 5.8. Центральная предельная теорема. Игральный кубик подбрасывают n раз. Оценить вероятность того, что суммарное число очков превзойдёт , где n – номер варианта плюс 50.

Задание 5.9. Центральная предельная теорема. Лотерейный билет стоит 20 рублей. С вероятностью билет окажется без выигрыша, с вероятностью на билет выпадет выигрыш ценой 100 рублей и с вероятностью билет выиграет 200 рублей. Какова вероятность остаться в проигрыше, если приобрести n билетов?

Исходные данные к задаче 5.9

№				n	№				n
	0,9	0,08	0,02			0,9	0,09	0,01
	0,9	0,07	0,03			0,9	0,08	0,02
	0,9	0,06	0,04			0,9	0,07	0,03
	0,9	0,09	0,01			0,9	0,06	0,04
	0,9	0,08	0,02			0,9	0,09	0,01
	0,9	0,07	0,03			0,9	0,08	0,02
	0,9	0,06	0,04			0,9	0,07	0,03
	0,9	0,09	0,01			0,9	0,06	0,04
	0,9	0,08	0,02			0,9	0,09	0,01
	0,9	0,07	0,03			0,9	0,08	0,02
	0,9	0,06	0,04			0,9	0,07	0,03
	0,9	0,09	0,01			0,9	0,06	0,04
	0,9	0,08	0,02			0,9	0,09	0,01
	0,9	0,07	0,03			0,9	0,08	0,02
	0,9	0,06	0,04			0,9	0,07	0,03

Задание 5.10. Центральная предельная теорема. Монету подбрасывают n раз. Какова вероятность того, что частота выпадения герба будет отличаться от вероятности выпадения герба не более, чем на a в ту или другую сторону. Сколько раз нужно подбросить монету, чтобы с вероятностью p можно было утверждать, что частота выпадения герба будет отличается от вероятности выпадения герба не более чем на а в ту или другую сторону?

Исходные данные к заданию 5.10