Теоретичні відомості. Графічні методи вирішення систем рівнянь

Графічні методи вирішення систем рівнянь

Як бачимо, вирішення рівнянь графічним методом не викликає особливих труднощів. Чого не можна казати про вирішення систем рівнянь цим же методом. Дуже часто вирішення навіть системи двох рівнянь з двома невідомими виявляється дуже складним.

Нехай задається система

Якщо обидва рівняння можливо відобразити в вигляді залежності однієї з двох змінних відносно іншої, то вирішення системи значно спрощується. Нехай з першого рівняння системи маємо у = f ₁(х), а з другого у = f ₂(x). В результаті отримуємо рівняння j(х)= f ₁(х)- f ₂(х)=0, яке вирішується одним із розглянутих раніше способів.

Приклад 6.3. Знайти графічним способом розв’язок системи рівнянь:

вважаючи, x >0.

Розв’язок. Вирішуємо рівняння відносно у:

будуємо графіки функцій та (Рис. 5.3).

Рис. 5.3.

Для уточнення коренів будуємо графіки у діапазоні x [1; 1,5].

Рис. 5.4.

Абсциса і ордината точки перетину цих кривих і будуть розв’язком вказаної системи х»1,22; у»-0,28.

Приклад 6.4. Розв'язати систему рівнянь:

Відзначимо, що обоє рівняння системи задані неявно і для побудови графіків функцій, відповідних до цих рівнянь, необхідно виразити значення змінної y через x.

Для першого рівняння системи маємо:

З'ясуємо ОДЗ отриманої функції:

Друге рівняння даної системи описує окружність.

На Рис.5.5 наведений фрагмент робочого аркуша MS Excel з формулами, які необхідно ввести в комірки для побудови ліній, описаних рівняннями системи. Крапки перетинання ліній зображених на Рис. 5.5 є графічним розв'язком системи нелінійних рівнянь.

Рис. 5.5.

Не важко помітити, що задана система має два розв'язки. Тому процедуру пошуку розв'язків системи необхідно виконати двічі, попередньо визначивши інтервал ізоляції корінь по осях О x і O y. У нашому випадку перший корінь лежить в інтервалах x ϵ[-0,5;0] і y ϵ [0,5;1], а другий - x ϵ [0;0,5] і y ϵ [-0,5;-1].