Методика розв’язання задач

1. Визначаємо склад механічної системи. Якщо всі складові системи знаходяться у стані спокою, то її початкова кінетична енергія дорівнює нулю.

2. Для довільного моменту часу записуємо вирази для кінетичної енергії кожного тіла в залежності від його характеру руху.

3. Записуємо кінематичні співвідношення між лінійними та кутовими характеристиками руху окремих тіл, та виражаємо сумарну кінетичну енергію через швидкість тіла для якого задане переміщення .

4. Записуємо суму робіт сил, прикладених до системи, беручі до уваги їхні переміщення. Переміщення та кути повороту тіл знаходимо шляхом інтегрування рівнянь, які зв’язують швидкості тіл, з врахуванням початкових умов. Після цього виражаємо переміщення тіл системи через .

5. Знаходимо швидкість як функцію переміщення користуючись теоремою про зміну кінетичної енергії системи.

6. Прискорення тіла знаходимо, взявши похідну за часом від рівняння, яке зв’язує та .

Приклад 1. Механічна система (рис. 2) починає рухатись зі стану спокою під дією сил тяжіння. Знайти швидкість та прискорення тіла 1 на момент часу, коли воно пройде шлях , користуючись теоремою про зміну кінетичної енергії. Тертям у блоці тіла 2 нехтувати, мотузки, що з’єднують тіла системи вважати невагомими та нерозтяжними. Розв’язати задачу, вважаючи відомими, маси тіл , , та , розміри , та , моменти інерції та , коефіцієнт тертя ковзання та кут нахилу похилої площини з горизонтом.

Розв’язання. Будемо вважати, що тіло 1 починає рух у по похилій площині догори і на момент, коли воно пройде шлях , набуває швидкості . Дійсний напрям руху тіла 1 знайдемо, розв’язавши задачу.

Згідно з теоремою про зміну кінетичної енергії (4.12)

, (1)

де - кінетична енергія системи на заданий момент часу, - початкова кінетична енергія системи. Ця зміна дорівнює роботі зовнішніх сил , бо вважаємо, що тіла системи та в’язі між ними не деформуються.

Оскільки в початковому стані система нерухома, то , тоді

. (2)

Тіло 2 в цей момент часу буде обертатися за напрямом руху стрілки годинника з кутовою швидкістю , тіло 3 буде здійснювати плоскопаралельний рух, обертаючись проти руху стрілки годинника з кутовою швидкістю , а його центр (вісь обертання блоку) буде рухатись вниз зі швидкістю . Тіло 4 буде рухатись теж вниз і, оскільки воно прикріплено до осі блоку 3, його лінійна швидкість (рис. 2).

Запишемо вираз для кінетичної енергії системи на момент часу, коли тіло 1, пройде шлях , як суму кінетичних енергій її складових

, (3)

в якому

, (4)

, (5)

, (6)

. (7)

Щоб знайти кінетичну енергію системи як функцію швидкості першого тіла, проведемо кінетичний аналіз механізму і встановимо зв’язок між лінійними та кутовими характеристиками руху різних елементів механічної системи.

Мотузка, що з’єднує тіло 1 з блоком 2 здійснює миттєво-поступальний рух, тому , звідки знаходимо

. (8)

З аналогічних міркувань отримуємо

. (9)

Щоб знайти лінійну швидкість центру третього тіла та його кутову швидкість , скористуємось тим, що тіло 3 здійснює плоскопаралельний рух і, має миттєвий центр швидкості (МЦШ), який розташовано в точці дотику тіла 3 до нерухомої мотузки. Тоді

,

звідки, беручі до уваги (9), отримаємо вираз для як функції від

. (10)

Швидкість центру блока 3 (одночасно і швидкість тіла 4) отримаємо з співвідношення

. (11)

Підставимо (8), (10) та (11) в рівняння (5) – (7), отримані рівняння та (4) складемо і знайдемо вираз для кінетичної енергії системи у заданий момент часу

. (12)

Знайдемо роботу зовнішніх сил як суму робіт по переміщенню елементів системи

. (13)

В нашому випадку зовнішніми силами є сили тяжіння: , , , , реакції опор , , реакції опори у точці закріплення мотузки, та тертя ковзання .

Реакція у точці роботи не здійснює, оскільки ця точка нерухома, отож = 0.

Оскільки сила опору перпендикулярна переміщенню , її робота дорівнює нулю. Сила тертя протилежна переміщенню і її робота від’ємна

. (14)

Складова сили тяжіння вздовж вектора переміщення дорівнює , і, оскільки ці вектори протилежні за напрямом, робота сил тяжіння для переміщення першого тіла теж від’ємна

. (15)

Оскільки друге тіло не змінює свого положення внаслідок дії зовнішніх сил та , то робота цих сил дорівнює нулю.

Центри мас третього та четвертого тіл зміщуються вертикально вниз під дією сил та відповідно, отож:

, (16)

. (17)

Очевидно, що в нашому випадку , а зв’язок з знайдемо з кінематичного аналізу механізму. Вище ми показали (11), що . Оскільки, за визначенням, , то, інтегруючи (11) з врахуванням початкових умов, отримаємо

. (18)

Підставимо (18) в (16) - (17) та складемо отримані рівняння і рівняння (14) – (15). Так ми визначимо зв’язок між роботою зовнішніх сил та переміщенням

. (19)

Підставляючи (12) та (19) в (2), отримуємо

=

= ,

звідки знайдемо вираз, який визначає швидкість тіла 1

. (20)

Якщо в результаті розрахунків отримуємо , то це свідчить про те, що ми не вгадали напрям руху першого тіла. Тоді, щоб отримати відповідь, потрібно змінити напрями поступального руху тіл 1, 3, 4 та обертального руху тіл 2 та 3. При цьому у формулах (15) – (17) необхідно внести відповідні зміни щодо роботи сил тяжіння. Це приведе до наступних змін у кінцевій формулі (20): в чисельнику зміняться знаки при масах тіл 1, 3 та 4, але не зміниться знак при коефіцієнті тертя , бо сила тертя ковзання завжди напрямлена проти напряму руху тіла, тоді отримуємо

= . (21)

Якщо і цьому випадку знову отримуємо , то система зберігає стан спокою за рахунок дії сил тертя ковзання.

Прискорення першого тіла знайдемо, взявши похідну за часом від (20) чи (21)

,

звідки

.

Відповідь: ,

.