Кинематика

1) Векторный

При движении точки М радиус вектор r изменяется по величине и направлению, положение радиус-вектора однозначно определяет положение точки М.

Скорость точки в данный момент есть векторная величина равная первой производной по времени от радиус-вектора точки.

Ускорение точки в данный момент есть векторная величина равная второй производной по времени от радиус-вектора точки.

2) Естественный

Известна траектория движения точки относительно выбранной системы отсчета S = S(t) закон движения точки вдоль заданной траектории.

Скорость:

3) Естественные оси – три взаимно перпендикулярные оси. Касательная к траектории. Главная нормаль, лежащая в соприкасающейся плоскости направленная к центру кривизны. Бионормаль, лежащая в соприкасающейся плоскости, направленная так что глядя навстречу ее положительному направлению видеть поворот от касательной оси к главной нормали происходящий против часовой стрелки.

Ускорение:

Касательное: Проекция вектора ускорения на касательную к траектории движения, характеризует изменение скорости по величине. Равно нулю если движение равномерное

Нормальное: Проекция вектора ускорения на главную нормаль, характеризует изменение скорости по величине. Равно нулю когда движение прямолинейное.

4) Координатный

X = X(t) Y = Y(t) Z = Z(t) Закон движения точки М

Проекция скорости на координатные оси равны первым производным по времени от соответствующих координат.

Проекция ускорения на координатные оси равны вторым производным по времени от соответствующих координат.

Переход от координатного способа задания движения к векторному.

5) Равномерное:

Равнопеременное:

6) Проекции скоростей концов отрезка на линию, соединяющую эти точки равны.

7) Поступательное движение – движение, при котором любая прямая, проведенная в теле, остается параллельной своему первоначальному направлению, на протяжении всего времени движения.

При поступательном движении все точки тела движутся с одинаковыми скоростями и ускорениями для любого момента времени. Описывают одинаковые траектории.

8) Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси – движение при котором все точки тела описывают концентрические окружности, центры которых лежат на оси, называемой осью вращения.

Закон вращательного движения:

Угловая скорость – величина характеризующая быстроту изменения угла поворота тела по времени, равна первой производной по времени от угла поворота.

Ее вектор – вектор лежащий на оси вращения, направленный таким образом что глядя навстречу ему, видеть вращение тела против часовой стрелки.

Угловое ускорение – величина характеризующая быстроту изменения угловой скорости тела по времени, равна второй производной по времени от угла поворота тела.

Его вектор совпадает по направлению с вектором угловой скорости если движение ускоренное, и направлен противоположно если движение замедленное.

9) Равномерное:

Равнопеременное:

10) Скорость точки тела вращающегося вокруг неподвижной оси – есть произведение угловой скорости вращения на кратчайшее расстояние до этой оси

Ускорение – есть векторная сумма нормального и тангенциального ускорений

A = A(n) + A(t), где A(n) = w*w*R, а A(t) = R*E

11) Скорость:

Ускорение:

12) Плоскопараллельное движение тела – движение, при котором все очки тела движутся в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости.

Уравнение:

Теоремы:

1) Плоское движение плоской фигуры в своей плоскости есть сложное движение, состоящее из поступательного переносного (связанно с точкой фигуры выбранной в качестве полюса) и относительного вращательного, относительно оси перпендикулярной плоскости движения и проходящей через полюс.

2) Плоскую фигуру из заданного положения 1 в положение 2 можно переместить одним поворотом относительно оси, проведенной через некоторую точку Р, лежащую в плоскости фигуры. Ось перпендикулярна плоскости фигуры. Р – центр конечного вращения.

13) Кинематические характеристики: Вектора Е и w лежат на подвижной оси вращения, а их величина и направление не зависят от выбора полюса, то есть эти вектора – свободные.

Распределение скоростей:

14) В любой момент времени при движении плоской фигуры в своей плоскости есть единственная точка, лежащая в плоскости движения, скорость которой, в данный момент времени, равна нулю – это МЦС

Скорость любой точки плоской фигуры – скорость точки во вращательном движении относительно оси проходящей через МЦС перпендикулярно плоскости фигуры.

W = Va/AP = Vb/BP

Частные случаи:

15) Распределение ускорений:

16) В любой момент времени при движении плоской фигуры в своей плоскости, при условии что E и W не равны нулю одновременно, существует единственная точка, лежащая в плоскости фигуры, чье ускорение в данный момент времени равно нулю – это МЦУ.

При движении плоской фигуры в своей плоскости ускорение любой ее точки может быть вычислено также как и линейное ускорение данной точки плоской фигуры в ее вращательном движении относительно оси проходящей через МЦУ перпендикулярно плоскости движения.

17)

18) Движение твердого тела с одной неподвижной точкой - это движение, при котором одна и та же точа твердого тела, остается неподвижной на протяжении всего времени движения. Так как при таком движении его точки движутся по сферическим поверхностям, центр которых лежит в неподвижной точки – это движение называют сферическим

Теорема Эйлера – Доломбера: Твердое тело, имеющее одну неподвижную точку из некоторого положения 1 в положение 2 можно перевести одним поворотом относительно оси, проходящей через эту точку. Ось называется осью конечного вращения.

Мгновенная ось вращения – геометрическое место точек скорости которых в данный момент равны нулю.

Угловая скорость – предел отношения изменения угла поворота к изменению времени, где изменение времени стремится к нулю.

Угловое ускорение – первая производная по времени от угловой скорости.

19)

20) Движение свободного твердого тела можно разложить на поступательное переносное и относительное сферическое движения.

Скорость точек:

Ускорение точек:

Вектора W и E не зависят от выбора полюса.

21)

22) Движение М относительно неподвижной системы координат – абсолютное движение

Движение М относительно подвижной системы координат – относительное движение

Движение подвижной системы координат относительно неподвижной – переносное движение.

23) Вектор абсолютной скорости точки в общем случае ее сложного движения определяется как векторная сумма переносной и относительной скорости этой точки

24) В общем случае сложного движения точки вектор абсолютного ускорения – это векторная сумма переносного, относительного и кориолиссового ускорения.

25) Ускорение Кориолиса:

Правило Жуковского: для того чтобы найти направление ускорения Кориолиса, необходимо Vr спроектировать на плоскость перпендикулярную вектору угловой переносной скорости, и повернуть на 90 градусов в направлении вращения.

26) При сложении двух поступательных движений твердого тела одно из которых переносное, а другое относительное, результирующее абсолютное движение есть поступательное движение, вектор скорости которого равен векторной сумме скоростей слагаемых поступательных движений.

27) При сложении двух вращательных движений твердого тела одно из которых переносное, а другое относительное вокруг пересекающихся осей, результирующее абсолютное движение есть вращение вокруг МОВ совпадающей с диагональю параллелограмма построенного на W1 и W2 как на сторонах.

28) При сложении двух вращательных движений твердого тела одно из которых переносное, а другое относительное, относительно параллельных осей результирующее абсолютное есть Вращение относительно МОВ параллельной осям слагаемых вращений в направлении совпадающем с направлением слагаемых вращений.

29) Пара вращений – совокупность двух вращательных движений твердого тела (относительного и переносного) вокруг параллельных осей с равными угловыми скоростями в противоположных направлениях.

30) При сложении двух движений твердого тела, поступательного переносного и относительного вращательного, в случае когда вектор угловой скорости относительного движения перпендикулярен вектору скорости поступательного движения. Результирующее абсолютное есть вращение твердого тела относительно МОВ ||ой оси относительного вращения в направлении относительного вращения.

31) Винтовое движение – движение, состоящее из переносного поступательного и относительного вращательного в случае, когда вектор скорости переносного движения || вектору угловой скорости относительного вращательного движения.

При сложении двух движений твердого тела поступательного переносного и относительного вращательного в общем случае. Результирующее абсолютное движение – винтовое с параметром:

Ось результирующего винтового движения || оси W и отстоит от нее на: