Метод Гаусса

Лабораторная работа № 4

Тема: Рішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь прямими та ітераційними методами.

Мета роботи: Отримання навичок знаходження матричних норм, рішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь, обчислення числа обумовленості системи в системі Mathcad.

Обладнання: ПК, система Mathcad.

1 Короткі теоретичні відомості:

1.1 Матричні норми

У лінійній алгебрі використовуються різні векторні і матричні норми (norm), які ставлять у відповідність матриці деяку скалярну числову характеристику. У різних специфічних завданнях лінійної алгебри застосовуються різні види норм.

Mathcad має наступні вбудовані функції для розрахунку різних норм квадратних матриць:

· norm1 (A) - норма в просторі L1;

· norme (A) - евклидова норма (euclidean norm);

· normi (A) - max-норма, або ∞-норма (infinity norm):

де А - квадратна матриця.

Рис. 1 – Обчислення норм матриці

1.2 Рішення систем лінійних рівнянь

Системи лінійних рівнянь в Mathcad зручно розв'язувати за допомогою функції lsolve. У функції lsolve запрограмований чисельний метод LU-розкладання.

lsolve (A, b)

Повертається вектор розв'язок x такий, що Аж = b.

Аргументи:

А - квадратна, що не сингулярна матриця коефіцієнтів системи

b - вектор, вектор правих частин, має стільки ж рядів, скільки рядів у матриці А.

На рисунку 2 показано рішення системи трьох лінійних рівнянь щодо трьох невідомих.

Метод Гаусса

У Mathcad прямий і зворотний ходи методу Гауса виконує функція rref (A).

На рис 3 показано рішення системи лінійних рівнянь методом Гаусса, в якому використовуються наступні функції:

rref (A)

Повертається ступінчаста форма матриці А.

augment (A, В)

Повертається масив, сформований розташуванням A і В пліч-о-пліч. Масиви A і В повинні мати однакове число рядків.

submatrix (A, ir, jr, ic, jc)

Повертається субматріца, що складається з усіх елементів з ir по jr і стовпцях з ic по jc. Переконайтеся, що ir £ jr і ic £ jc, інакше порядок рядків і (або) стовпців буде звернений.

Рис. 2 – Рішення СЛАР за допомогою функції lsolve

Рис. 3 – Метод Гауса

Рішення СЛАР за допомогою обчислювального блоку Given / Find

Для вирішення систем в Mathcad застосовується спеціальний обчислювальний блок Given / Find (Дано / знайти), що складається з трьох частин, що йдуть послідовно один за одним:

· Given -ключове слово;

· система, записана логічними операторами у вигляді рівностей і, можливо, нерівностей;

· Find (x_i,...,х_м) - вбудована функція для вирішення системи рівнянь щодо змінних x₁,..., х_м.

Вставляти логічні оператори слід, користуючись панеллю інструментів Boolean (Булеві оператори). Якщо ви віддаєте перевагу введення з клавіатури, пам'ятайте, що логічний знак рівності вводиться поєднанням клавіш <Ctrl> + <=>. Значення функції Find являє собою вектор, складений з рішення по кожній змінній. Таким чином число елементів вектора дорівнює числу аргументів Find.

Дуже важливо, що при використанні обчислювального блоку Given / Find всіх невідомих потрібно присвоїти початкові значення.

Примітка

Якщо матриця СЛАР є невиродженою (точніше, якщо її число обумовленості не надто велике), то відомо, що чисельне рішення системи рівнянь єдино. Тому початкові значення можуть бути довільними, т. К. Результат роботи чисельного методу все одно зійдеться до точного рішення.

Рис. 4 – Рішення СЛАР за допомогою Рис. 5 – Рішення СЛАР,

обчислювального блока Given/Find записаної в матричній формі, за допомогою Given/Find

1.3 Число обумовленості системи

Число обумовленості є мірою чутливості системи лінійних рівнянь Аx = b, обумовленою матрицею А, до погрішностей завдання вектора b правих частин рівнянь. Чим більше число обумовленості, тим сильніше цей вплив і тим більше нестійкий процес знаходження рішення лінійної системи. Тобто велике число обумовленості вказує на те, що система є погано обумовленою (малі похибки вхідних даних призводять до величезних погрішностей результату).

Число обумовленості пов'язане з нормою матриці і обчислюється по різному для кожної з норм:

• cond1 (А) - число обумовленості в нормі L1;

• conde (A) - число обумовленості в евклідової нормі;

• condi (A) - число обумовленості в ∞-нормі;

де А - квадратна матриця.

1.4. Метод Якобі

Приклад. Вирішити систему методом ітерацій Якобі.

Діагональні коефіцієнти 100; 200; 100 системи значно переважають над іншими коефіцієнтами при невідомих, тобто, виконується наслідок 2.

Наведемо цю систему до нормального вигляду

У матричній формі її можна записати так:

.

На Рис 4 наведено фрагмент робочого документа Mathcad, що містить подальше рішення цієї системи.

На Рисунке 1 приведен фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий дальнейшее решение этой системы.

Рис. 4 – Метод ітерацій Якоби для систем лінійних рівнянь

2 Завдання для самостійного виконання

1. Обчислити норми матриць

a) , де A = б) где A = в) , где A =

2. Вирішити систему лінійних рівнянь за допомогою функцій:

а ) solve (А, b);

б) rref (A);

в) обчислювального блоку Given / Find.

№	Система лінійних рівнянь	№	Система лінійних рівнянь

3. Обчислити число обумовленості матриці A за формулою , а також використовуючи функції Mathcad (матрицю взяти з попереднього завдання). Внести невелику похибку у вихідні дані, і подивитися як змінився результат. Зробити висновок.

4. Для порівняння обчислити числа обумовленості для матриць:

знайти рішення двох дуже близьких погано обумовлених СЛАР (з однаковою правою частиною і мало відрізняються матрицями А1 і А2, наведеними вище), використовуючи функцію lsolve. Зробити висновок.

5. Вирішити методом Якоби систему лінійних рівнянь x=b, используя средства Mathcad:

Вказівка. Для виконання достатньої умови збіжності скористатися перестановкою рядків у вихідній системі рівнянь.