Множество рациональных чисел. Система действительных чисел

Во множестве целых чисел выполняются операции сложения, вычитания и умножения, но не всегда выполняется операция деления. Расширяя множество Z так, чтобы эта операция была выполнима, получаем новое числовое множество - множество рациональных чисел Q, т.е. Q ={ r | r= , m, n Î Z, n¹0 }. Множество рациональных чисел можно еще определить как множество бесконечных периодических десятичных дробей.

Десятичная дробь называется периодической, если начиная с некоторого k одна или несколько цифр (группа цифр) повторяются.

Если же число нельзя представить в виде отношения двух целых чисел, то его называют иррациональным числом.

К необходимости введения понятия иррационального числа приводит рассмотрение многих задач, в частности - задачи измерения некоторых отрезков (например, длины диагонали квадрата со стороной, равной единице). Иррациональное число представляется непериодической бесконечной десятичной дробью. Например, рациональные числа и представляются следующими десятичными дробями: = 0,75; = 0,333... = 0,(3).

Иррациональные числа и p представляются непериодическими бесконечными дробями: = 1,414...; p = 3,14159....

Непериодическими бесконечными дробями также являются: 0,101001000100001..., и другие.

Множество, состоящее из всех рациональных и всех иррациональных чисел, называется множеством действительных чисел R. Геометрически действительные числа изображаются точками числовой прямой. Отметим, что между множеством действительных чисел и множеством точек числовой прямой установлено взаимно однозначное соответствие.

Имеется в виду что каждой точке на прямой соответствует число из множества R, и наоборот, каждому числу из множества R соответствует точка на прямой.