Аксонометрия и ее свойства

Аксонометрия представляет собой способ построения изображения. Пусть в пространстве дан аффинный репер R (O¢, E₁¢, E₂¢, E₃¢). С ним связана аффинная система координат .

Решение задачи построения изображения точки, если даны ее координаты в пространстве

М₃ – вторичная проекция точки.

Триметрические, диметрические и изометрические проекции.

Триметрическая проекция – все три коэффициента искажения различны между собой

Диметрическая проекция – два коэффициента искажения равны между собой, а третий отличен от них.

Кабинетная проекция

Кавальерная или военная проекция.

Задачи аксонометрии.

Дана точка (М, М₃) построить ее вторичные проекции M₁ и М₂ на плоскости Oyz и Оxz.

Прямая () лежит в плоскости, определяемой точкам . Найти ее проекцию

Дана аксонометрическая проекция точки М, лежащей в плоскости p, которая в свою очередь определена следом р₃ на плоскости Оху и точкой (РО) ее пересечения с осью Оz. Найти вторичную проекцию М₃.

Полные и неполные изображения.

Пример неполного изображения

Аффинные задачи аксонометрии.

Дан параллелепипед ABCDA¢B¢C¢D¢, точки L, M и N расположены соответственно на гранях ABCD, BB¢C¢C и ABB¢A¢. Построить сечение параллелепипеда плоскостью LMN.

Дан тетраэдр ABCS. Даны точки М, N и P, принадлежащие соответственно боковым граням SBC, SAC и SAB. Построить сечение тетраэдра плоскостью MNP.

МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ АКCОНОМЕТРИИ

Аффинный репер R=() называется декартовым, если известны длины базисных векторов и угол между ними. - 6 независимых параметров.

Метрически и евклидово определенные изображения.

Аффинный репер R=() называется метрически определенным, если известны все параметры, определяющие попарные произведения всех его векторов. Репер называется евклидово определенным, если известно такое число параметров, которое определяет репер с точностью до подобия в пространстве, например, отношение скалярных произведений.

5 независимых параметров:

.

На плоскости метрически определенный репер - 3 параметра, евклидово определенный – 2 параметра.

В евклидово определенном репере можно найти отношение длин отрезков и углы между векторами.

Задача 1. Дано изображение равнобедренного треугольника с углом при основании в 30⁰. Построить изображение высоты, опущенной на его боковую сторону.

Изображение евклидово определенное. Отношение боковых сторон равно1, угол между ними - 120⁰

Задача. На плоскости даны параллелограмм ABCD, луч и отрезок, которые являются изображением квадрата, луча и отрезка, лежащих в одной плоскости. Построить на данном луче изображение отрезка, равного данному.

Задача. Дан куб ABCDA’B’C’D’, на грани AA’D’D дана точка М. Опустить из этой точки перпендикуляр на плоскость BC’D