Понятие о редуцировании площади участка

Участок местности в общем случае имеет неровную поверхность, и поэтому в геодезии различают площадь физической поверхности участка Pф и площадь проекции участка на горизонтальную плоскость P; ясно, что Pф > P.

Пусть участок прямоугольной формы расположен на плоскости G, имеющей угол наклона ν (рис.6.9).

Площадь прямоугольника ABCD на плоскости G будет равна:

Pф = a * b, (6.28)

где a, b - стороны прямоугольника.

Площадь горизонтальной проекции этого же прямоугольника равна:

P = a * b' = a * b * Cos (ν)

или

P = Pф * Cos(ν). 1 (6.29)

Рис.6.9

Далее можно написать:

P = Pф - ΔP, (6.30)

где

ΔP = 2 * Pф * Sin2(ν/120). (6.31)

Таким образом, относительное искажение площади участка ΔP/Pф зависит только от угла наклона; при этом форма участка и его расположение в плоскости G не влияют на величину искажения. В следующей таблице приведены численные значения относительного искажения площади участка для разных углов наклона ν.

Таблица 6.2

Если угол наклона плоскости G неизвестен, то абсолютное искажение площади можно получить по известным координатам и отметкам поворотных точек контура участка, выполнив следующие операции:

по координатам поворотных точек вычислить площадь горизонтальной проекции участка:

P = 0.5 * Σ [ Xi * (Yi+1 - Yi-1)],

решить обратные задачи по всем сторонам контура участка и получить горизонтальные проложения Si и дирекционные углы αi всех сторон,

вычислить длины сторон контура по формуле:

(6.32)

где hi - превышение по i - той стороне,

одну из поворотных точек контура участка (например, 1-ю) принять за исходную в местной системе координат на плоскости G, то-есть,

X'1 = X1, Y'1 = Y1,

и вычислить координаты всех остальных поворотных точек контура в этой системе по формулам:

X'i+1 = X'i + di * Cos(αi),
Y'i+1 = Y'i + di * Sin(αi),

вычислить площадь участка на плоскости G:

Pф = 0.5 * S[X'i * (Y'i+1 - Y'i-1)],

вычислить абсолютное искажение площади участка:

ΔP = Pф - P.

Если поверхность участка имеет произвольно сложную форму, то участок нужно разделить на t частей желательно треугольной формы, каждая из которых имеет постоянный угол наклона к горизонту, вычислить искажения площади для всех t частей и найти их сумму.

При делении участка нужно соблюдать следующие правила:

вершины гор и донья котловин должны фиксироваться точками с координатами и отметками,

каждая линия водораздела, водослива, бровки, подошвы и перегиба ската должна фиксироваться не менее, чем двумя точками с координатами и отметками.

Координаты и отметки этих точек можно определять по топографической карте или плану.