Решение оптимизационной задачи

Все три функционала сводятся к одному виду:

Задача – имея функционалы вида найти функцию , имеющую полюсы только в левой полуплоскости комплексного переменного, которая обеспечивает минимум функционала .

Допустим, такая функция найдена, обозначим ее :

Если вместо функции в функционал подставить близкую ей функцию , то функционал может только увеличиться:

Раскроем скобки и введем обозначения и :

По теореме Парсеваля и так как – четная функция:

Тогда, с учетом введенных обозначений выражение примет вид:

Найдем его минимум. Для этого возьмём производную и приравняем ее нулю:

Получаем, что – необходимое и достаточное условие оптимальности системы.

Полученное уравнение (Винера-Хопфа) содержит две неизвестных функции:

– имеет полюсы только в левой полуплоскости.

– имеет полюсы только в правой полуплоскости.