Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать неотразимый комплимент Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?

Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Интегралы вида ∫tgmx dx, ∫ctgmx dx





Для нахождения этих интегралов примен. ф-лы, с пом. кот. помлед-но понижается степень m.

tg2x = (1/cos2x) - 1, ctg2x = (1/sin2x) - 1

1/cosx = secx, 1/sinx = cosecx

tg2x = sec2x - 1, ctg2x = cosec2x - 1

Замечание.

Если m-степень частная, то удобно делать подст. tg x = t., тогда x = arctg t.

dx = dt/ (1+t2) и интеграл сводится к интегралу от непр. рацион. дроби.

 

Интегралы вида ∫ sin mx * cos nx dx, ∫ cos mx * cos nx dx, ∫ sin mx * sin nx dx/

В этом случае примен. след. тригон. функции:

sin mx * cos nx = ½ (sin (m+n) + sin (m-n))

cos mx * cos nx = ½ (cos (m+n) +cos (m-n))

sin mx * sin nx = ½ (cos (m-n) – cos (m+n))

Эти формулы дают нам произведение предс. в виде суммы.

Интегрирование нек. иррациональностей.

Интегралы вида ∫R (x, m√ax+b )

Такие интегралы наход. подстановкой ax+b = tm.

Интегралы вида ∫ ((Mx+N)dx)/((x-α) √ax2+bx+c )

x - α = 1/t

dx = -1/t2 dt

Тригонометрические подстановки.

∫R (x, √a2-x2 ) dx, ∫R (x, √a2+x2 ) dx

Чтобы избавиться от корня и привести интегралы к рацион. тригон. виду, примен. подстановки.

Подстановка для первого: x = a sint (x = a cost)

Подстановка для второго: x = a tgt

Если под знаком Ö содерж. кв. трехчлен, то выделяем полный квадрат.

Существует ряд интегралов, не берущ. в элемент. ф-ях, т.е. для подынтг. ф-и нельзя найти первообразную:

∫(sinx/x) dx - интегральный синус

∫(cosx/x) dx - интегральный косинус

∫е-x^2 dx - интеграл вероятности

∫(lnx/x) dx и др.

y = f(x) – непрерывна на отрезке [a;b].

аАВв – криволинейная трапеция.

Вычислим площадь трапеции: Q - ?

Разобьем отр. [a;b] точками на частичный отрезки произ. образом. X0 = а, х12…xn = b.

Длину каждого их этих отрезков обозначим через Δxi=(i=1,2,…,n), Δx1=x1-xo, Δx2=x2-x1… Δxi=xi-xi-1

На каждом из частных отрезков построим прямоуг-ки с основаниями DXi с высотой f(ξi)



ΔSi = Δxi * f(ξi), где i=1,2,…,n - площадь каждого из прямоугольников.

Сумма всех площадей:

n   i=1
n   i=1

∑∆Si ≈ 0 = ∑ f(ξi) * ∆Si

 

Очевидно тем точнее, чем больше n (мелк. отрезков), т.е. сумма, стоящая слева этого рав-ва назыв. интегральной суммой на отрезке [а;b].

Значение этой суммы зависит как от способа деления отрезка [a,b] на частичные, так и от выбора точек x. Очевидно, точное значение искомой площади мы можем получить, если в рав-ве перейти к пределу при n®¥ или (DXi®0).

Т. обр.

n   i=1

∆xi→0
Q = lim ∑ f(ξi) * ∆xi

 

b   a
Определение. Если при любых делениях отрезка [а;b] таких, что DXi®0 и при любом выборе точек xi на этих отрезках, интегральная сумма ® к одному и тому же пределу, то этот предел назыв. опред. интегралом от ф-и y= f(x) на отрезке [a;b] и обозначают ∫ f(x) dx

 
 
b   a
n   i=1

∆xi→0
Т.о. ∫ f(x)dx = lim ∑ f(ξi) - ∆x

 


b   a
Геометрически опред. интеграл – площадь кривол. Трапеции, огран. Сверху ф-ей f(x), прфмыми х=а, х=b и осью ОХ.

Q = ∫ f(x)dx

Замечание.

Опред. интеграл в отличие от неопред. есть число, зависящее от вида подыинтегр.ф-и, пределов интегр-я, не зависящее от обозн. переменной интегрир-я.

 

b   a
b   a
Св-ва опред. интеграла.

1. ∫ α * f(x)dx = α * ∫ f(x)dx

               
 
b   a
 
b   a
 
b   a
 
b   a


2. ∫ [ f1(x) ± f2(x) ± … ± fn(x) ] dx = ∫ f1(x)dx ± ∫ f2(x)dx ± … ± ∫ fn(x)dx

b   a
b   a
определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа слагаемых равен такой же сумме интегралов слогаемых.

3. если на отрезке [a,b], (a≤b) φ(x) ≥ f(x), то ∫ φ(x)dx ≥ ∫ f(x)dx

 

b   a
4. Если m и M соответственно наим. И наиб. Значения ф-и на отрезке [a;b] (а£b), то

m(b-a) £ ∫ f(x)dx £ M(b-a)

 

5. Теорема о среднем. Если f(x) непрерывна на отрезке, то на этом отрезке найд. такая точка х=с, что быдет выполняться равенство:

 
 
b   a


∫ f(x)dx = f(c) - (b-a)

 

Эта ф-ла не может быть использвана для вычисления инт-ла из-за неопред. точки "с".

6. Для любых 3-х чисел a,b,c справедливо рав-в

               
 
b   a
 
b   a
 
b   c
       
 




∫ f(x)dx = ∫ f(x)dx + ∫ f(x)dx

 

7. Имеет место след. неравенство

       
 
b   a
 
b   a


│∫ f(x)dx│ ≤ ∫│f(x)│dx

           
 
a   a
 
b   a
 
a   b


Замечание: ∫ f(x)dx = 0, ∫ f(x)dx = - ∫ f(x)dx

 

 

Теорема 1.

Производная от опред. интеграла по перем. верхнему пределу равна подынт. ф-и:

x   a


∫ f(t)dt = Φ'(x), что Ф'(x) = f(x)

 






Date: 2016-02-19; view: 308; Нарушение авторских прав

mydocx.ru - 2015-2020 year. (0.027 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию