Теоретическая часть. Целью настоящей работы является освоение студентами диагностирования состояния технических систем методом Байеса

Цель работы

Целью настоящей работы является освоение студентами диагностирования состояния технических систем методом Байеса.

Порядок выполнения работы

1. Изучить теоретическую часть.
2. В соответствии с заданным вариантом произвести расчёты.
3. Произвести оценку и дать заключение об эффективности заданной системы признаков.
4. Подготовить отчёт о выполненной работе.

Теоретическая часть

Метод Байеса является одним из наиболее простых и мощных методов. Этот метод основан на вычислении условной вероятности появления такого события как диагноз D_i при появлении конкретной реализации комплекса признаков К* [1,2].

Рассмотрим первоначально основные положения этого метода на простейшем случае, когда имеется диагноз D_i и один бинарный признак К_j, встречающийся при появлении этого диагноза.

Определим некоторые понятия

1. P(D_i) - априорная (до опытная) вероятность появления диагноза D_i. Эту вероятность определяют по статистическим данным на начальном этапе применения метода исходя из следующих соображений. Если при обследовании N объектов диагноза установлено, что из них N_i имеют диагноз D_i, то вероятность появления этого диагноза определяется соотношением

2. Р(К_j/D_i) - априорная условная вероятность появления признака К_j у объектов имеющих техническое состояние (диагноз) D_i. Эта вероятность так же определяется на начальном этапе по имеющимся статистическим данным. Если из N обследованных объектов N_i находилось в диагнозе D_i, а из них N_ji объектов имели признак Kj, то условная вероятность появления признака К_j у объектов с диагнозом D_i вычисляется следующим образом

3. P(K_j) - априорная вероятность появления признака K_j у всех объектов независимо от их состояния. То есть, если из N объектов независимо от их технического состояния у N_j был обнаружен признак K_j, то эта вероятность определяется следующим соотношением

Напомним некоторые положения теории вероятностей. Пусть мы имеем два события А и В. Известны вероятности появления этих событий Р(А) и Р(В), а также условная вероятность появления события А при уже состоявшемся событии В Р(А/В) и условная вероятность появления события В при уже состоявшемся событии А Р(В/А). Тогда вероятность одновременного появления событий А и В Р(А,В) определяется следующей формулой

Р(А,В) = Р(А) Р(В/А) = Р(В) Р(А/В).

Воспользовавшись этой формулой и данными выше понятиями можно записать вероятность одновременного появления диагноза D_i и признака K_j следующим образом

P(D_i,K_j)=P(D_i) P(Kj/Di)=P(K_j) P(Di/Kj).

В этом выражении величина P(D_i/К_j) - это условная вероятность существования диагноза D_i при обнаружении признака K_j, то есть это та величина, которая ищется при вероятностном подходе к решению задачи распознавания диагнозов. После соответствующих преобразований из последнего выражения получим формулу Байеса

P(Di/Kj)={P(D_i) P(Kj/Di)}/ P(K_j). (1)

Формула (1) получена для случая, когда при постановке диагноза используется один простой признак.

Для принятия решения о диагнозе при использовании набора (комплекса) признаков применяется обобщенная формула Байеса, которую можно получить из следующих соображений. Если диагностирование проводится по комплексу признаков, то в результате обследования мы получаем конкретную реализацию каждого j-того признака K_j* и, следовательно, конкретную реализацию комплекса признаков К* в целом. В этом случае формула Байеса предстанет в виде:

(2)

где P(D_i/К*) - условная вероятность нахождения объекта диагностики в диагнозе D_i при условии, что в ходе обследования была получена реализация К* комплекса признаков К; Р(К*) -вероятность появления конкретной реализации К* комплекса признаков К у всех диагностируемых объектов, независимо от их технического состояния; Р(К*/D_i) - условная вероятность появления конкретной реализации К* комплекса диагностических признаков К для объектов, находящихся в диагнозе D_i.

Преобразуем последние выражения с учетом следующих соображений.

Примем, что система может находится только в одном из n технических состояний, тогда

Будем считать, что отдельные диагностические признаки, входящие в состав комплекса признаков, независимые. Такое допущение вполне справедливо для реальных условий при большом числе влияющих факторов. Тогда условную вероятность Р(К*/D_i) в соответствии с известными положениями теории вероятностей можно представить как произведение

где P(K*_j/D_i) - условная вероятность появления конкретной

реализации К*_j j-того признака при нахождении объекта

диагностики в диагнозе D_i; j= 1... l.

Вероятность же появления конкретной реализации комплекса признаков при нахождении объекта во всех диагнозах Р(К*) можно представить следующим образом

.

С учетом последних соотношений уравнение (2) перепишем в окончательном виде

(3)

Полученное уравнение называется обобщённой формулой Байеса.

В большинстве практических задач, особенно при большом числе признаков, можно принимать условие независимости признаков даже при наличии существенных корреляционных связей между ними и тогда

(4)

Для определения вероятности диагноза по методу Байеса составляется исходная диагностическая матрица (табл. 1.1), которая формируется на основе предварительного статистического материала. В этой таблице содержатся вероятности появления s – тых разрядов j - тых признаков при различных диагнозах D_i - P(K_js/Di). Если признаки двухразрядные (простые признаки "да-нет"). то в табл. 1.1 достаточно указать вероятность появления признака P(Kj/Di). Вероятность отсутствия признака

(5)

Сумма вероятностей всехреализаций признака К_j равна единице

.

При методе Байеса используется следующее правило: объект с комплексом признаков К* относится к тому диагнозу (классу), который имеет наибольшую вероятность. То есть выбирается такой диагноз, у которого P(D_i/K*)>P(D_j/K*), при j=1, 2, … l; i¹j. При двух разрядных признаках K₁ и K₂ диагностическая матрица будет выглядеть следующим образом:

Таблица 1.1

Диагностическая матрица

Пример

При наблюдении за газотурбинными двигателями проверяются два признака: K₁ - повышение температуры газа за турбиной более чем на 50°С и К₂- увеличение времени выхода на максимальную частоту вращения более чем на 5 с. Появление этих признаков связано либо с неисправностью топливного регулятора (состояние D₁), либо с увеличением радиального зазора в турбине (состояние D₂). Общее число обследованных двигателей N=200. Известно, что из этих 200 двигателей число двигателей отработавших свой ресурс в исправном состоянии (диагноз D₃) N₃=146, число двигателей имевших неисправность топливного регулятора (диагноз D₁) N₁=12, число двигателей имевших увеличенный радиальный зазор в турбине (диагноз D₂) N₂=34.

При нормальном состоянии двигателя (диагноз D₃) признак К₁ не наблюдался (N₁₃=0), а признак К₂ наблюдался у 6 двигателей (N₂₃=6). В состоянии D₁ признак K₁ встречался у 2 двигателей (N₁₁=2), а признак К₂ –у 4 двигателей (N₂₁=4). В состоянии D₂ признак K₁ встречался у 13 двигателей (N₁₂=13), а признак К₂ - у 17 двигателей (N₂₂=17).

Требуется составить решающее правило определения состояния двигателя (постановки диагноза) при возможных сочетаниях проверяемых признаков.

1. Определим априорные вероятности диагнозов P(D_i) и априорные условные вероятности появления признаков при нахождении двигателя в одном из диагнозов P(K_j/D_i). В нашем случае i= 3, j=2.

2. Сведем исходные данные в диагностическую таблицу (табл. 1.2). При этом вероятности отсутствия признаков вычислим по формуле (5).

Таблица 1.2

Вероятности признаков и априорные вероятности состояний

Di	P(K1/Di)	P( /Di)	P(K2/Di)	P( /Di)	P(Di)
D1	0,17	0,83	0,33	0,67	0,06
D2	0,38	0,62	0,5	0,5	0,17
D3	0,0	1,0	0,04	0,96	0,73

3. Найдём вероятности нахождения двигателя в различных состояниях, когда обнаружены оба признака P(D_i/K₁K₂). Считая признаки независимыми, применим формулы (3) и (4). Вероятность состояния D₁ при наличии признаков К₁ и К₂:

Аналогично получим P(D₂/K₁K₂)=0,905; P(D₃/K₁K₂)=0.

4. Определим вероятности состояний двигателя, если обследование показало, что повышение температуры не наблюдается (признак К₁ отсутствует), но увеличивается время выхода на максимальную частоту вращения (признак К₂ наблюдается). Используем те же формулы (3) и (4):

Аналогично получим P(D₂/ K₂)=0,536; P(D₃/ K₂)=0,297.

5. Вычислим вероятности состояний, когда признак К₁ наблюдается, а признак К₂ – отсутствует

Соответственно P(D₂/K₁ )=0,825; P(D₃/ K₁ )=0,0.

6. Для случая, когда не наблюдаются оба признака:

P(D₁/ )=0,04; P(D₂/ )=0,07; P(D₃/ )=0,89.

Сведём результаты в табл. 1.3.

Таблица 1.3

Результаты диагноза

Di	P(Di/K1K2)	P(Di/ K2)	P(Di/K1 )	P(Di/ )
D1	0,10	0,17	0,18	0,04
D2	0,90	0,54	0,82	0,07
D3	0,00	0,29	0,00	0,89

7. Анализ полученных результатов позволяет составить следующие правила определения диагноза, в котором находится двигатель при обнаружении в ходе обследования различных сочетаний признаков К₁ и К₂:

- При обнаружении обоих признаков К₁ и К₂ (наблюдается повышенная температура газов и увеличенное время выхода на максимальную частоту вращения) двигатель находится в диагнозе D₂ (т.е. в турбине имеется увеличенный радиальный зазор);

- При отсутствии обоих признаков наиболее вероятно нормальное состояние (вероятность 0,89);

- При наблюдении только признака K₁ (повышенная температура газов) двигатель находится в диагнозе D₂ (т.е. в турбине имеется увеличенный радиальный зазор);

- При наблюдении только признака К₂ однозначно дать ответ о техническом состоянии двигателя нельзя, требуется проведение дополнительных обследований.