Классификация многогранников

Многогранником называется тело, ограниченное плоскими многоугольниками. Элементами многогранника являются вершины, ребра и грани. Многогранник называется выпуклым, если весь он лежит по одну сторону от плоскости любой его грани. Правильным называется многогранник, грани которого являются правильным многоугольником. Всего существует пять правильных выпуклых многогранников, которые первым исследовал и описал Платон, живший в V – IV веках до н.э. Поэтому эти многогранники называют также «Платоновы тела».

1. Тетраэдр (четырехгранник – правильная треугольная пирамида) – 4 вершины, 4 грани – треугольники.

2. Гексаэдр (шестигранник – куб) – 8 вершин, 6 граней – квадратов.

3. Октаэдр (восьмигранник) – 6 вершин, 8 граней – треугольников.

4. Икосаэдр (двадцатигранник) – 12 вершин, 20 граней – треугольников.

5. Додекаэдр (двенадцатигранник) – 20 вершин, 12 граней – пятиугольников.

Формула Эйлера для правильного многогранника:

В + Г – Р =2

где В – число вершин многогранника,

Г – число граней многогранника,

Р – число ребер многогранника.

Из всего многообразия выпуклых многогранников наибольший практический интерес представляют:

1) призмы – многогранники, у которых боковые ребра параллельны друг другу, а боковыми гранями являются параллелограммы;

2) пирамиды – многогранники, у которых боковые ребра пересекаются в одной точке – вершине;

3) призматоиды – многогранники, ограниченные какими-либо двумя многоугольниками, расположенными в параллельных плоскостях и называемыми основаниями, и треугольниками или трапециями, вершинами которых служат вершины оснований (рис.8.1).

Рис.8.1. Призматоид