С плоскостью общего положения

Эта позиционная задача (как и большинство других позиционных задач) решается с помощью вспомогательной плоскости. Пусть задана прямая n общего положения и плоскость Σ общего положения. Необходимо найти их точку пересечения (рис.5.6). Задача решается в следующей последовательности.

1. Заданная прямая n заключается во вспомогательную плоскость Θ: n Ì Θ.

2. Строится прямая пересечения заданной плоскости Σ со вспомогательной плоскостью Θ: 12 = Θ Ç Σ.

3. Построенная прямая 12 и заданная прямая n лежат в одной плоскости Θ, а значит будут пересекаться между собой: М=12 Ç n. Их общая точка М является общей для прямой n и плоскостей Σ и Θ, а значит, является искомой точкой пересечения прямой n и плоскости Σ.

Рис.5.6

В качестве вспомогательной плоскости чаще всего используют проецирующие плоскости.

Рассмотрим пример решения задачи на комплексном чертеже (рис.5.7).

Рис.5.7

Заключаем прямую n во вспомогательную горизонтально проецирующую плоскость Θ, которую зададим горизонтальным следом Θ₁ (горизонтальная проекция плоскости). Причем след Θ₁ должен совпадать с горизонтальной проекцией прямой n₁. Далее находим прямую пересечения вспомогательной плоскости Θ с заданной плоскостью Σ. Сторона АВ пересекается с плоскостью Θ в точке 1, а сторона АС – в точке 2. Сначала отмечаем горизонтальные проекции точек 1₁ и 2₁, а затем с помощью вертикальных линий связи находим фронтальные проекции точек 1₂ и 2₂ соответственно на фронтальных проекциях сторон треугольника А₂В₂ и А₂С₂. Таким образом, плоскости пересекаются по прямой 12. Теперь можно определить фронтальную проекцию К₂ искомой точки. Она будет являться точкой пересечения фронтальных проекций построенной прямой 1₂2₂ и заданной прямой n₂. Горизонтальная проекция К₁ определяется с помощью вертикальной линии связи на горизонтальной проекции прямой n₁.

Затем нужно определить видимость прямой n относительно плоскости Σ. Для определения видимости на П₂ необходимо воспользоваться фронтально конкурирующими точками 3 и 4 (точка 3 лежит на стороне ВС треугольника, а точка 4 – на прямой n). Видимость прямой на П₁ определяем с помощью горизонтально конкурирующих точек 1 и 5 (точка 1 лежит на стороне АВ, а точка 5 – на прямой n).

Решение рассмотренной задачи в краткой алгоритмической записи выглядит следующим образом:

1. Θ (n Ì Θ)

2. 12 = Σ ∩ Θ

3. K = 12 ∩ n.