Раздел второй 7 page

Против этого понятия и направлены все те нападки, которым подверглось основное данное математикой определение этого бесконечного - дифференциального и интегрального исчисления. Неправильные представления самих математиков привели к непризнанию этого понятия; но виновна в этих нападках главным образом неспособность обосновать этот предмет как понятие. Однако понятие, как было указано выше, математика не может здесь обойти, ибо как математика бесконечного она не ограничивается рассмотрением конечной определенности своих предметов (как, например, в чистой математике пространство и число и их определения рассматриваются и соотносятся друг с другом лишь со стороны их конечности), а приводит заимствованное оттуда и трактуемое ею определение в тождество с его противоположностью, превращая, например, кривую линию в прямую, круг - в многоугольник и т. д. Поэтому действия, к которым она позволяет себе прибегать в дифференциальном и интегральном исчислении, находятся в полном противоречии с природой чисто конечных определений и их соотношений и, стало быть, могли бы найти свое обоснование только в понятии.

Если математика бесконечного настаивала на том, что эти количественные определения суть исчезающие величины, т. е. такие, которые уже не определенные количества, но и не ничто, а сохраняют еще некоторую определенность относительно другого, то [нападавшим на нее] казалось совершенно ясным, что нет, как они выражались, никакого среднего состояния между бытием и ничто. - Каково значение этого возражения и так называемого среднего состояния, это уже было показано выше при рассмотрении категории становления (примечание 4). Конечно, единство бытия и ничто не есть состояние; состояние было бы таким определением бытия и ничто, в которое эти моменты, так сказать, попали только случайно, как бы впав в болезнь или подвергшись внешнему воздействию со стороны ошибочного мышления; скорее лишь эта средина и это единство, исчезание, или, что то же, становление, и есть их истина.

То, что бесконечно, говорили далее, не подлежит сравнению как большее или меньшее; поэтому не может быть отношения бесконечного к бесконечному по разрядам или рангам бесконечного, а между тем такие различия бесконечных разностей встречаются в науке, трактующей о них. - Это уже упомянутое выше возражение все еще исходит из представления, будто здесь идет речь об определенных количествах, сравниваемых как определенные количества, и что определения, которые уже не определенные количества, не имеют больше никакого отношения друг к другу. В действительности же дело обстоит наоборот: то, что только находится в отношении, не есть определенное количество. Определенное количество есть такое определение, которое вне своего отношения должно иметь совершенно безразличное [к другим] наличное бытие и которому должно быть безразлично его отличие от иного, между тем как качественное есть лишь то, что оно есть в своем отличии от иного. Поэтому указанные бесконечные величины не только сравнимы, но существуют лишь как моменты сравнения, отношения.

Я приведу важнейшие определения, которые были даны в математике относительно этого бесконечного; тогда станет ясно, что они исходят из мысли о самом предмете, согласующейся с развитым здесь понятием, но что их авторы не исследовали этой мысли как понятие, и в применении они вынуждены были прибегать к уловкам, противоречащим тому, чего они хотели добиться.

Эту мысль нельзя определить более правильно, чем это сделал Ньютон. Я оставлю здесь в стороне определения, принадлежащие представлению о движении и скорости (от которых он главным образом и заимствовал название флюксий), так как в них мысль выступает не в надлежащей абстрактности, а конкретно, смешанно с несущественными формами. Эти флюксии объясняются Ньютоном таким образом (Princ. mathein. phil. nat. L. 1. Lemma XI. Schol.), что он понимает под ними не неделимые - форма, которой пользовались до него математики Кавальери и другие и которая содержит понятие определенного в себе кванта, - а исчезающие делимые. Он понимает под ними, кроме того, не суммы и отношения определенных частей, а пределы (limites) сумм и отношений. Против этого, говорит Ньютон, выдвигают возражение, что у исчезающих величин не может быть никакого

последнего отношения, так как прежде чем они исчезли, оно не последнее, а когда они исчезли, нет уже никакого отношения. Но под отношением исчезающих величин следует понимать не то отношение, которое имеет место до или после их исчезновения, а то отношение, вместе с которым они исчезают (quacum evanescunt). Точно так же и первое отношение возникающих величин есть отношение, вместе с которым они возникают.

В соответствии с состоянием научного метода того времени давалось лишь объяснение, что под таким-то термином следует понимать то-то. Но объяснение, что под таким-то термином следует понимать то-то, есть, собственно говоря, лишь субъективное предложение или же историческое требование, причем не показывают, что такое понятие в себе и для себя необходимо и обладает внутренней истинностью. Но из сказанного видно, что выставленное Ньютоном понятие соответствует тому, чем оказалась в приведенном выше изложении бесконечная величина на основании рефлексии определенного количества внутрь себя. [Под флюксиями Ньютон ] понимает величины в их исчезновении, т. е. величины, которые уже не определенные количества; он понимает под ними, кроме того, не отношения определенных частей, а пределы отношения. Следовательно, исчезают, согласно этому пониманию, и определенные количества сами по себе, члены отношения, и само отношение, поскольку оно было определенным количеством; предел отношения величин - это то, в чем оно есть и не есть; это означает, точнее, что он есть то, в чем определенное количество исчезло, и тем самым сохранились отношение только как качественное отношение количества и его члены - также как качественные моменты количества. - Ньютон к этому прибавляет, что из того обстоятельства, что имеются последние отношения исчезающих величин, не следует заключать, что имеются последние величины, неделимые. Это было бы опять-таки отходом от абстрактного отношения к таким его членам, которые должны были бы сами по себе, вне своего соотношения, иметь значение как неделимые, как нечто, что было бы "одним", безотносительным.

Чтобы предостеречь против этого недоразумения, он, кроме того, напоминает, что последние отношения - это не отношения последних величин, а только пределы, к которым отношения беспредельно убывающих величин ближе, чем всякое данное, т. е. конечное различие, за которые, однако, они не выходят, чтобы не стать ничем. - Под последними величинами можно было бы, как сказано, понимать именно неделимые, или "одни". Но из определения последнего отношения устранено представление и о безразличном, безотносительном "одном", и о конечном определенном количестве. - Но не нужно было бы ни беспредельного убывания, которое Ньютон приписывает определенному количеству и которое лишь служит выражением бесконечного прогресса, ни определения делимости, которое уже не имеет здесь никакого прямого значения, если бы требуемое определение было развито в понятие такого определения величины, которое есть исключительно лишь момент отношения.

Что касается сохранения отношения при исчезновении определенных количеств, то мы встречаем (у других авторов, например у Карно, Reflexions sur la metaphysique du calcul infinitesimal) выражение, что в силу закона непрерывности исчезающие величины, прежде чем исчезнуть, еще сохраняют то отношение, из которого они происходят. - Это представление выражает истинную природу вещей, поскольку здесь подразумевается не непрерывность определенного количества, которой оно обладает в бесконечном прогрессе, непрерывность, выражающаяся в том, что определенное количество так продолжает себя в своем исчезновении, что по ту сторону его снова возникает лишь конечное определенное количество, новый член ряда. Однако непрерывное движение вперед всегда представляют так, что проходят имеющие еще значение конечные определенные количества. В совершающемся же переходе в истинное бесконечное непрерывным оказывается отношение; оно настолько непрерывно и сохраняется, что переход состоит скорее лишь в том, что он выделяет отношение в чистом виде и приводит к исчезновению безотносительного определения, т. е. что определенное количество, будучи стороной отношения, есть определенное количество еще и тогда, когда оно положено вне этого соотношения. - Такое очищение количественного отношения есть в этом смысле не что иное, как постижение эмпирического наличного бытия через понятие (begriffen wird). Этим эмпирическое наличное бытие настолько возвышается над собой, что его понятие содержит те же определения, что оно само, но схваченные в их сущности и выраженные в единстве понятия, в котором они лишились своего безразличного, чуждого понятия существования (Bestehen).

Столь же интересна и другая форма, в какой Ньютон трактует разбираемые нами величины, а именно трактовка их как производящих величин или начал. Произведенная величина (genita) - это произведение или частное, корни, прямоугольники, квадраты, а также стороны прямоугольников, квадратов, вообще конечная величина. - "Рассматривая ее как переменную, как она возрастает или убывает в постоянном движении и течении, я понимаю под названием моментов ее мгновенные приращения или убывания. Но не следует принимать эти моменты за частицы, имеющие определенную величину (particulae finitae). Такие частицы суть не самые моменты, а величины, произведенные из моментов; под последними следует понимать скорее находящиеся в становлении принципы, или начала, конечных величин". Ньютон отличает здесь определенное количество от него же, рассматривает, каково оно как продукт или налично сущее и каково оно в своем становлении, в своем начале и принципе, т. е. каково оно в своем понятии или - здесь это то же самое - в своем качественном определении; в качественном определении количественные различия, бесконечные приращения или убывания суть лишь моменты; только ставшее есть то, что перешло в беэразличие наличного бытия и во внешность, - определенное количество. - Но если философия истинного понятия [бесконечного] должна признать эти определения бесконечного, приведенные относительно приращений или убывании, то сразу же следует заметить, что самые формы приращения и т. д. находятся внутри категории непосредственного определенного количества и указанного выше непрерывного движения вперед и что представления о приращении, приросте, умножении х на dx или г и т. д. должны рассматриваться скорее как основное зло этих методов как постоянное препятствие к возвышению от представления об обычном определенном количестве к чистому определению качественного момента количества.

Против указанных определений очень отстало представление о бесконечно малых величинах, связанное с [представлением о] самом приращении или убывании. Согласно этому представлению, бесконечно малые величины таковы, что можно пренебрегать не только ими самими при сравнении с конечными величинами, но также их высшими разрядами при сравнении с низшими, а равно и произведениями нескольких таких величин при сравнении с одной. - У Лейбница особенно подчеркивается требование такого пренебрежения, которому отдали дань и предшествующие изобретатели методов, касавшихся этих величин. Прежде всего именно это пренебрежение придает указанному исчислению, несмотря на то, что оно удобно, видимость неточности и явной неправильности способа его действий. - Вольф старался объяснить это пренебрежение [величинами], следуя своей манере делать общедоступными рассматриваемые им вопросы, т. е. лишать понятие чистоты и подменять его неправильными чувственными представлениями. А именно он сравнивает пренебрежение бесконечно малыми разностями высших разрядов относительно низших с образом действия геометра, при котором измерение высоты горы нисколько не делается менее точным, если ветер сдунет песчинку с ее вершины или если не будет принята во внимание высота домов и башен при вычислении лунных затмений (Element. mathes. univ. Tom I. El. analys. math. P. II. C. I. S. schol.).

Если снисходительность здравого смысла дозволяет такую неточность, то все геометры, напротив, отвергали такого рода представление. Сама собой напрашивается мысль, что в математической науке идет речь вовсе не о такой эмпирической точности и что математическое измерение посредством ли вычислении или посредством геометрических построений и доказательств совершенно отлично от измерения земли, от измерения эмпирических линий, фигур и т. п. Да и помимо того, как уже было указано выше, аналитики, сравнивая результаты, получаемые строго геометрическим путем, с результатами, получаемыми методом бесконечно малых разностей, доказывают, что они одинаковы и что большая или меньшая точность [здесь] вовсе не имеет места. А ведь само собой разумеется, что абсолютно точный результат не мог бы получиться при неточном способе действия. Однако, с другой стороны, сам способ действия, несмотря на протесты против приведенных в оправдание доводов, не может обойтись без пренебрежения [величиной ] на том основании, что она незначительна. И в этом состоит трудность, побуждающая аналитиков объяснить заключающуюся здесь бессмыслицу и устранить ее.

По этому вопросу следует прежде всего привести мнение Эйлера. Исходя из общего определения Ньютона, он твердо убежден, что дифференциальное исчисление рассматривает отношения приращений величины, но что бесконечно малую разность, как таковую, следует рассматривать как нуль (Institut. calc. different., р. I. с. III). - Как это надо понимать, видно из изложенного выше; бесконечно малая разность есть нуль лишь как определенное количество, а не качественный нуль; а как нуль по количеству она скорее чистый момент лишь отношения. Она не различие на некоторую величину. Но именно поэтому, с одной стороны, вообще ошибочно называть моменты, именуемые бесконечно малыми величинами, также и приращениями или убываниями и разностями. Это определение исходит из того, что к имеющейся сначала конечной величине что-то прибавляется или что-то от нее отнимается, что производится некоторое вычитание или сложение, некоторое арифметическое, внешнее действие. Но что касается перехода от функции переменной величины к ее дифференциалу, то по нему видно, что он совершенно другого характера, а именно, как уже было разъяснено, он должен рассматриваться как сведение конечной функции к качественному отношению ее количественных определений. - С другой стороны, сразу бросается в глаза ошибочность утверждения, будто приращения сами по себе - это нули и будто рассматриваются только их отношения; ведь нуль вообще уже не имеет никакой определенности. Это представление, стало быть, хотя и доходит до отрицательности определенного количества и определенно выражает эту отрицательность, однако в то же время не схватывает ее в ее положительном значении качественных определений количества, которые, если хотят вырвать их из отношения и брать их как определенные количества, окажутся лишь нулями. - Лагранж 109 (Theorie des fonct. analyt. Introd.) замечает относительно представления о пределах или последних отношениях, что, хотя и можно очень хорошо представить себе отношение двух величин, пока они остаются конечными, это отношение не дает рассудку ясного и определенного понятия, как только его члены становятся одновременно нулями. - И в самом деле, рассудок должен выйти за пределы той чистой отрицательности, что как определенные количества члены отношения суть нули, и понять их положительно как качественные моменты. - А то, что Эйлер (в указанном месте § 84 и ел.) прибавляет еще относительно данного [им ] определения, чтобы показать, что две так называемые бесконечно малые величины, которые якобы не что иное, как нули, тем не менее находятся в отношении друг к другу, и потому для их обозначения пользуются не знаком нуля, а другими знаками, - нельзя признать удовлетворительным. Он хочет это обосновать различием между арифметическим и геометрическим отношениями: в первом мы обращаем внимание на разность, во втором - на частное, и, хотя арифметическое отношение между двумя нулями [всегда] одинаково, это не значит, что точно так же обстоит дело с геометрическим отношением; если 2:1-0:0, то по природе пропорции, так как первый член вдвое больше второго, третий член тоже должен быть вдвое больше четвертого; поэтому на основании этой пропорции отношение 0: 0 должно быть взято как отношение 2:1.- Также и по обычной арифметике п х 0 ° 0; следовательно, п: 1=0:0.- Однако именно потому, что 2: 1 или п: 1 есть отношение определенных количеств, ему не соответствует ни отношение, ни обозначение 0: 0.

Я не буду приводить мнения еще других [математиков ], так как рассмотренные уже достаточно показали, что в них, правда, содержится истинное понятие бесконечного, но что оно не выделено и не сформулировано во всей своей определенности. Поэтому, когда [высказывающие эти взгляды] переходят к самому действию, то на нем не может сказаться истинное определение понятия; скорее возвращается конечная определенность количества, и действие не может обойтись без представления о лишь относительно малом. Исчисление делает необходимым подвергать так называемые бесконечные величины обычным арифметическим действиям сложения и т. д., основанным на природе конечных величин, и тем самым хотя бы на мгновение признавать эти бесконечные величины конечными и трактовать их как таковые. Исчисление должно было бы обосновать правомерность того, что оно, с одной стороны, низводит эти величины, вовлекает их в эту сферу и трактует их как приращения или разности, а с другой - пренебрегает ими как определенными количествами после того, как оно только что применяло к ним формы и законы конечных величин.

Я коснусь еще самого существенного в попытках геометров устранить эти затруднения.

Более ранние аналитики меньше терзали себя такими сомнениями; но старания новейших аналитиков были направлены главным образом на то, чтобы вновь привести исчисление бесконечно малых к очевидности собственно геометрического метода и с помощью этого метода достигнуть в математике строгости доказательств древних (выражения Лагранжа). Однако так как принцип анализа бесконечного по своей природе выше, чем принцип математики конечных величин, то анализ бесконечного сразу же сам собой должен был отказаться от этого рода очевидности, подобно тому как философия также не может притязать на ту отчетливость, которая присуща наукам о чувственном, ' например естественной истории, или подобно тому как еда и питье считаются более понятным занятием, чем мышление и постижение посредством понятия (Begreifen). Поэтому нам придется говорить " лишь о стараниях достигнуть строгости доказательств древних.

Некоторые [аналитики] пытались обойтись совершенно без понятия бесконечного и дать без него то, что казалось связанным с его применением. - Лагранж, например, рассказывает о методе, изобретенном Ланденом, и говорит об этом методе, что он чисто аналитический и не пользуется бесконечно малыми разностями, а сначала вводит различные значения переменных величин и в дальнейшем приравнивает их друг к другу. Лагранж, впрочем, заявляет, что при этом утрачиваются свойственные дифференциальному исчислению преимущества, а именно простота метода и легкость действий. - Это способ, в котором заключается нечто соответствующее тому, из которого исходит Декартов метод касательных (о нем нам придется ниже еще говорить подробнее). Здесь можем заметить, что в общем сразу ясно, что этот способ придавать переменным величинам различные значения и затем приравнивать их друг к другу вообще относится к иному кругу математического рассмотрения, чем сам метод дифференциального исчисления, и им не выделяется подлежащая в дальнейшем более тщательному рассмотрению особенность того простого отношения, к которому сводится действительное, конкретное определение этого исчисления, а именно отношения производной функции к первоначальной.

Более ранние из математиков новейшего времени, как, например, Ферма, Барроу и другие, которые первые пользовались бесконечно малыми в том применении, которое позднее преобразовалось в дифференциальное и интегральное исчисление, а затем также Лейбниц и последующие математики, равно как и Эйлер, всегда откровенно заявляли, что они вправе отбрасывать произведения бесконечно малых разностей, так же как и их высшие степени, только на том основании, что они относительно, по сравнению с низшими разрядами, исчезают. Единственно на этом соображении покоится у них основное положение, а именно определение того, что такое дифференциал произведения или степени, ибо к этому сводится все теоретическое учение. Остальное есть отчасти механизм действий, отчасти же применение, которое, однако, как мы покажем далее, на самом деле представляет больший, или, лучше сказать, единственный интерес. -

Что касается рассматриваемого теперь вопроса, то следует здесь привести лишь самое простое соображение: исходя из того же довода относительно незначительности принимают как основное положение о кривых, что элементы кривых, а именно приращения абсциссы и ординаты имеют между собой то же отношение, что и подкасательная и ордината. С целью получить подобные треугольники дуга, составляющая наряду с двумя приращениями третью сторону треугольника, который прежде справедливо назывался характеристическим треугольником, рассматривается как прямая линия, как часть касательной, и потому одно из приращений - как доходящее до касательной. Эти допущения возвышают, с одной стороны, указанные ранее определения над природой конечных величин; с другой же стороны, к моментам, называемым теперь бесконечными, [здесь] употребляется такой способ, который приложим лишь к конечным величинам и применяя который мы не вправе чем-либо пренебрегать, ссылаясь на незначительность. Затруднение, отягчающее метод, остается при таком способе действия во всей своей силе.

Здесь мы должны указать на удивительный прием Ньютона (Princ. inath. phil. nat. Ub. II. Lemma II, после propos. VII) - на изобретенную им остроумную уловку для устранения арифметически неправильного отбрасывания произведений бесконечно малых разностей или их высших разрядов при нахождении дифференциалов. Он находит дифференциал произведения, из которого легко затем вывести дифференциалы частного, степени и т. п., следующим образом. Произведение, если уменьшить х и у, каждый порознь на половину его бесконечной разности, а если увеличить х и у, ровно настолько же, то произведение переходит в сумму. Если от этого второго произведения отнять первое,

то получается разность ydx + xdy, которая есть избыток приращения на целые dx и dy, так как именно этим приращением отличаются оба произведения; следовательно, это и есть дифференциал ху. - Как видим, при этом способе сам собой отпадает член [ряда ], составляющий главное затруднение, - произведение обеих бесконечных разностей dxdy. Однако при всем уважении к имени Ньютона следует сказать, что это, хотя и весьма элементарное, действие неправильно.

Только потребность обосновать ввиду его важности исчисление

флюксий могла заставить такого математика, как Ньютон, обмануть себя подобным способом доказательства.

Другие формы, которыми пользуется Ньютон при выведении f дифференциала, связаны с конкретными, относящимися к движению значениями элементов и их степеней. - Применение формы ряда, вообще характерное для его метода, сразу наводит на мысль, что всегда в наших силах путем прибавления все новых членов взять величину с той степенью точности, которая нам нужна, и что отброшенные величины относительно незначительны, что вообще результат есть лишь приближение', и Ньютон здесь также удовлетворился этим доводом, подобно тому как он в своем методе решения уравнений высших степеней путем приближения отбрасывает высшие степени, получающиеся при подстановке в данное уравнение каждого найденного еще неточного значения, на том простом основании, что они малы;

Ошибка, которую допустил Ньютон, решая задачу путем отбрасывания существенных высших степеней, ошибка, которая дала повод противникам торжествовать победу своего метода над его методом и истинный источник которой указывает Лагранж в своем новейшем исследовании ее, доказывает, что пользование этим орудием еще страдало формализмом и неуверенностью. Лагранж показывает, что Ньютон допустил эту ошибку потому, что он пренебрег членом ряда, содержащим важную для данной задачи степень. Ньютон придерживался указанного выше формального, поверхностного принципа отбрасывания членов [ряда] ввиду их относительной малости. - А именно известно, что в механике членам ряда, в котором разлагается функция какого-нибудь движения, придается определенное значение, так что первый член или первая функция соотносится с моментом скорости, вторая - с силой ускорения, а третья - с сопротивлением сил. Поэтому 'члены ряда должны рассматриваться здесь не только как части некоторой суммы, но как качественные моменты некоторого понятия как целого. Благодаря этому отбрасывание остальных членов, принадлежащих к дурно бесконечному ряду, имеет смысл, совершенно отличный от отбрасывания их на основании их относительной малости. Решение задачи, данное Ньютоном, оказалось ошибочным не потому, что в нем не принимаются во внимание члены ряда лишь как части некоторой

суммы, а потому, что не принимается во внимание член, содержащий качественное определение, которое здесь важнее всего.

В этом примере качественный смысл есть то, от чего ставится в зависимость способ действия. В связи с этим мы можем тотчас же привести общее утверждение, что все затруднение с принципом было бы устранено, если бы вместо формализма, исходя из которого определение дифференциала усматривают лишь в задаче, дающей ему это имя, [т. е.] в отличии вообще функции от ее изменения после того, как ее переменная величина получила некоторое приращение, - если бы вместо этого формализма было указано качественное значение принципа и действие было поставлено в зависимость от этого качественного значения. В этом смысле дифференциал от х полностью исчерпан первым членом ряда, получающегося путем разложения (х + dxY). Таким образом, остальные члены не принимаются во внимание не из-за их относительной малости; здесь не предполагается никакой такой неточности, погрешности или ошибки, которая бы исправлялась и устранялась другой ошибкой, - взгляд, исходя главным образом из которого Карно обосновывает правомерность обычного метода исчисления бесконечно малых. Так как дело идет не о сумме, а об отношении, то дифференциал полностью находят посредством. первого члена; там же, где есть нужда в новых членах, в дифференциалах высших разрядов, их нахождение (Bestimmung) состоит не в продолжении ряда как суммы, а в повторении одного и того же отношения, единственно которое имеют в виду и которое,

стало быть, полностью имеется уже в первом члене. Потребность в форме некоторого ряда, в суммировании этого ряда и все, что связано с этим, должны в таком случае быть совершенно отделены от указанного интереса отношения.

Разъяснения, даваемые Карно относительно метода бесконечных величин, - это наиболее ясное и четкое изложение того, что нам встретилось в указанных выше представлениях. Но при переходе к самим действиям у него в той или иной мере появляются обычные представления о бесконечной малости опускаемых членов по сравнению с другими. Он оправдывает метод не столько самой природой вещей, сколько тем фактом, что результаты оказываются правильными, и полезностью введения неполных уравнений, как он их называет (т. е. таких, в которых осуществляют такое арифметически неправильное отбрасывание), для упрощения и сокращения исчисления.

Лагранж, как известно, вновь принял первоначальный метод Ньютона, метод рядов, чтобы избавиться от трудностей, связанных с представлением о бесконечно малом, равно как и с методом первых и последних отношений и пределов. Относительно его исчисления функций, прочие преимущества которого в отношении точности, абстрактности и всеобщности достаточно известны, мы должны отметить - поскольку это касается нашей темы - лишь то, что оно исходит из основного положения, что разность, не превращаясь в нуль, может быть принята столь малой, что каждый член ряда превосходит по величине сумму всех следующих за ним членов. - При этом методе также начинают с категории приращения и разности функций, переменная величина которой получает приращение, что и вызывает появление докучливого ряда; равно как в дальнейшем члены ряда, которые должны быть опущены, принимаются в соображение, лишь поскольку они составляют некоторую сумму, и основание, почему они отбрасываются, усматривается в относительности их определенного количества. Отбрасывание, следовательно, и здесь не сводится вообще к точке зрения, встречающейся, с одной стороны, в отдельных видах применения, в которых, как мы упомянули раньше, члены ряда должны иметь определенное качественное значение и часть из них оставляется без внимания не потому, что они незначительны по величине, а потому, что они незначительны по качеству; с другой же стороны, отбрасывание зависит от той существенной точки зрения, которая определенно выступает у Лагранжа относительно так называемых дифференциальных коэффициентов лишь в так называемом применении дифференциального исчисления, что мы подробнее разъясним в следующем примечании.

Качественный характер вообще, свойственный (как мы здесь доказали относительно обсуждаемой нами формы величины) тому, что при этом называется бесконечно малым, обнаруживается непосредственнее всего в категории предела отношения, которая приведена выше и проведение которой в дифференциальном исчислении было названо особого рода методом. Из рассуждений Лагранжа об этом методе, что ему недостает легкости в применении и что термин предел не вызывает определенной идеи, мы остановимся на втором и рассмотрим более подробно его аналитическое значение. Именно в представлении о пределе и содержится указанная выше истинная категория качественного определения отношения между переменными величинами; ибо формы их, которые появляются, dx и dy, должны быть взяты dy dx здесь просто лишь как моменты - и само.- следует рассматривать как единый неделимый знак. Что для механизма исчисления, особенно в его применении, утрачивается преимущество, которое он извлекает из того обстоятельства, что члены дифференциального коэффициента обособляются друг от друга, - это следует здесь оставить без внимания. Этот предел должен быть теперь пределом данной функции; он должен указать некоторое значение в связи с ней, определяемое способом выведения. Но с одной лишь категорией предела мы не подвинулись бы дальше, чем с тем, о чем дело шло в этом примечании, имеющем целью показать, что бесконечно малое, встречающееся в дифференциальном исчислении как dx и dy, имеет не только отрицательный, никчемный смысл некоторой неконечной, не данной величины, как это имеет место, [например], когда говорят: "бесконечное множество", "и т. д. до бесконечности" и т. п., а определенный смысл качественной определенности количественного, момента отношения, как такового. Однако эта категория, взятая в таком смысле, еще не имеет отношения к данной функции, еще не влияет сама по себе на рассмотрение этой функции и не приводит к такому пользованию указанным определением, которое должно было бы иметь место в последней; таким образом, и представление о пределе, ограниченное такой доказанной относительно него определенностью, также ни к чему не привело бы. Но термин предел уже сам по себе подразумевает, что это предел чего-то, т. е. выражает некоторое значение, заключающееся в функции переменной величины; и мы должны посмотреть, каково это конкретное оперирование им.

Date: 2015-06-06; view: 343; Нарушение авторских прав