Краткая теория

Лабораторная работа №1.

Определение плотности вещества твердого тела

Цель работы: 1) научиться учитывать погрешности прямых и косвенных измерений; 2) определить плотность твердого тела и идентифицировать его.

Оборудование: 1) штангенциркуль; 2) микрометр; 3) набор твердых тел правильной геометрической формы.

Краткая теория.

Физические объекты и физические явления материального мира могут быть количественно охарактеризованы как некоторое множество, так и индивидуально. Такая характеристика называется физической величиной. Чтобы иметь представления о физической величине с количественной точки зрения необходимо выразить ее числом, соотнести ее с заранее установленным эталоном, то есть измерить ее. Это возможно сделать, используя специальные технические измерительные средства. Однако, полученные результаты измерений физических величин в научно-исследовательских лабораториях или лабораторных работах студентов, всегда являются не абсолютно точными, а приближенными. Отклонение результатов (ошибки измерения) от истинных значений измеряемой физической величины называется погрешностью. Погрешности измерения могут быть численно оценены. Для этого используют понятия о абсолютной и относительной погрешности. Абсолютная погрешность - величина равная разности между истинным и приближенным значением измеряемой величины, то есть

D l = l_ист – l_изм (1)

Вследствие того, что истинное значение измеряемой величины не известно, на практике берется максимальная абсолютная погрешность, которая может быть допущена при измерении. Максимальная абсолютная погрешность является границей абсолютной погрешности приближенного значения измеряемой величины, то есть наименьшее положительное число, содержащее одну и две значащие цифры, которое больше модуля абсолютной погрешности или равно ему:

, (2)

где x - истинное значение физической величины, а – приближенное значение, Dа – граница абсолютной погрешности.

Например, при измерении массы тела получили m = 8,35 ± 0,15г, из чего следует, граница абсолютной погрешности Dа = 0,15г имеет две значащие цифры, и результат может быть записан виде

0,15 < 8,35 < 0,15.

Эта запись означает, что любые измерительные приборы не дают точного показание измеряемой величины, а только лишь промежуток (диапазон) значений, в котором находится истинное значение этой величины.

Кроме абсолютной погрешности для оценки качества измерения использую понятие относительной погрешности, которое равно отношению погрешности измерения к истинному значению измеряемой величины, выраженное в процентах. Таким образом, относительная погрешность равна

(3)

Погрешности измерения могут быть обусловлены многими причинами, поэтому их можно разделить на несколько видов.

Погрешности метода измерения − погрешности, возникающие вследствие несовершенства применяемого метода измерения или из-за наличия допущений и упрощений в применяемых эмпирических формулах. Так при измерении диаметра шарика линейкой допускается большая погрешность, чем при использовании штангенциркуля.

Инструментальные погрешности − погрешности, возникающие при изготовлении меры измерения физической величины или прибора для ее измерения.

Погрешности, возникающие в результате не соблюдения правил эксплуатации прибора, так как любой измерительный прибор требует предварительной проверки определенной установки. Например. Ненагруженные весы должны быть уравновешены, проверено качание чашек, а технические весы должны быть установлены по отвесу или уровню и т. п.

Погрешности, возникающие вследствие внешних влияний на средства измерения или объекты измерения. К таким влияниям можно отнести температурный режим окружающей среды, магнитное поле Земли и поля электрических токов, вредные вибрации и сотрясения.

Субъективные погрешности − погрешности, обусловленные индивидуальными свойствами наблюдателя, которые могут быть обнаружены при проведении одинаковых измерений несколькими экспериментаторами либо в многократных одинаковых экспериментах.

Все перечисленные ранее погрешности относятся погрешностям прямых измерений. Погрешности прямых измерений могут быть оценены различными способами. Рассмотрим некоторые из них более подробно.

Метод среднего арифметического значения

Данный метод может быть использован при прямых измерениях, когда собственная погрешность прибора меньше погрешности отсчета. Повторяя несколько раз измерения одной и той же физической величины в одинаковых условиях с одинаковой тщательностью, в ходе эксперимента можно получить несколько числовых значений измеряемой величины, которые отличаются друг от друга. Стремясь приблизиться к истинному значению измеряемой величины, необходимо вычислить ее среднее арифметическое значение и вычисляют средне арифметическое значение модулей отклонений отдельных измерений от среднего значения величины, то есть среднюю абсолютную погрешность. После чего определяют относительную погрешность.

Если при повторных измерениях получается один и тот же результат, то за погрешность измерения принимают инструментальную допускаемую погрешность меры или измерительного прибора.

Рассмотрим в качестве примера измерения толщины проволоки микрометром. Пусть получились следующие результаты измерения:

2,35; 2,29; 2,30; 2,37; 2,31 мм.

Находим среднее арифметическое значение результатов всех измерений:

мм.

Находим модули отклонений отдельных результатов измерений от среднего арифметического и результаты могут быть оформлены в виде таблицы. Вычисляем среднюю абсолютную погрешность из отклонений отдельных измерений, взятых по абсолютной величине:

мм.

Следовательно, диаметр проволоки D = 2,32мм±0,03мм. Средняя относительная погрешность результата определяется отношением средней абсолютной погрешности к среднему значению величины:

e = , (1)

e = или 1%

Метод Стьюдента.

Данный метод был предложен В.С. Госсетом, который публиковал свои работы под псевдонимом Стьюдент. Он основан на том, что при малом числе измерений существует зависимость между Dа, определяющую доверительный интервал, и средней квадратичной погрешностью, то есть

Dа = ks.

где s - средняя квадратичная погрешность, вычисляемая по формуле

,

k- коэффициент Стьюдента, определенный самим ученым используя элементы теории вероятности и занесенный в специальные таблицы.

Приведем пример вычисления погрешностей прямых измерений методом Стьюдента. Пусть шестикратное взвешивание изделия из ценного металла дало следующие результаты; 72,361; 72,357; 72,352; 72,346; 72,344; 72,340. определим массу этого изделия и погрешности измерения.

Определяем отклонения от среднего (в мг) и сумму их квадратов:

+ 11 121

+ 7 49

+ 2 4

-4 16

-6 36

-10 100

Вычисляем:

, мг

, мг

По первой таблице находим для n = 6 (так как шесть измерений) и P_s = 0,99 (вероятность достоверного результата) t_s = 4,03, откуда границы доверительного интервала погрешности среднего ±(3,29×4,03)»13 мг. Следовательно, масса изделия равна

M = 72,350±0,013 г

(степень достоверности — 99%).

В тех случаях, когда физическая величина не может быть измерена непосредственно, пользуются специальными расчетными формулами, в которых искомая физическая величина является некоторой функцией f=f(x,y,z) зависимости от других величин, измеренных прямым способом. То есть говорят, что физическая величина измерена косвенным способом. Для оценки результатов измерения физической величины, полученной косвенным способом, используют специальный метод оценки погрешности косвенных измерений, который заключается в том, чтобы по полученным значениям x, y, z (данные прямых измерений) определить искомую физическую величину f,ее абсолютную погрешность D f, относительную погрешность e _f. В данном методе для определения относительной погрешности используют формулу

.

Тогда используя формулу (1) можно вычислить абсолютную погрешность:

Df = e×f.

Приведем пример оценки погрешности измерений удельного сопротивления проводника с помощью амперметра, вольтметра, рулетки для измерения длины проводника, микрометра для измерения диаметра проводника. Пусть были получены следующие данные:

U = 3,0В±0,1В, I = 0,50А ±0,05А,

l = 100,0см ± 0,5см, D = 0,30мм ± 0,01мм.

Для вычисления удельного сопротивления воспользуемся известными формулами определения электрического сопротивления, удельного сопротивления и площади сечения цилиндрического проводника, а именно

, .

Из чего следует, что удельное сопротивление может быть найдено следующим образом:

.

Вычислим значение удельного сопротивления по полученной формуле r =0,424×10^-6 Ом×м². Погрешность измерения удельного сопротивления в данном случае должна быть оценена как погрешность при косвенных измерениях. Она будет складываться из погрешностей прямых измерений U, D, I, l и ошибки округления постоянной p. Прологарифмируем данную функцию r(U, D, I, l,p) и найдем частные производные по U, D, I, l.

lnr =lnU + 2lnD +lnp - lnI - ln l

.100%

Подставляя в данное уравнение данные полученные при прямых измерениях получим, что относительная погрешность измерения удельного сопротивления равна e»12,5%. После этого вычисляем Dr =0,053×10^-6 Ом м² и записываем результат виде:

r = (0,424×10^-6)Ом×м², e =12,5%.

В данной лабораторной работе в качестве физической величины измеренной косвенным способом является плотность твердых тел правильной геометрической формы (цилиндра и параллепипеда), линейны параметры которых, могут быть определены прямыми измерениями с разной степенью точности (штангенциркулем и микрометром).

Штангенциркуль.

Штангенциркуль состоит из линейки со шкалой 1, имеющей миллиметровые деления, и нониуса 4 — дополнительной линейки, которая может перемешаться вдоль шкалы (рис. 1).Нониус имеет 10 делений, которые равны 9 делениям шкалы, поэтому каждое деление нониуса короче деления шкалы на 0,1 и равно 0,9 мм (рис.1). При сдвинутых щеках штангенциркуля нулевая отметка нониуса совпадает с нулевой отметкой линейки, а десятая отметка — с девятой отметкой линейки. При этом первое деление нониуса не доходит до первого деления линейки на 0,1 мм. Второе деление нониуса соответственно не доходит до второго деления линейки уже на 0,2 мм и т. д. Следовательно, если раздвинуть щеки штангенциркулем так, чтобы первая отметка нониуса совпала с первой отметкой линейки, то между щеками образуется просвет 0,1 мм. Если совпадет с отметкой линейки вторая отметка нониуса, просвет между щеками будет уже 0.2 мм и т. д. Следовательно, отметка нониуса, совпадающая с отметкой линейки, указывает расстояние между щеками в десятых долях миллиметра. Таким образом, можно сформулировать следующие правила пользования штангенциркулем:

— При измерении длины тела его зажимают между щеками штангенциркуля. Отсчет целых делений (мм) производят по шкале линейки до нуля нониуса, затем отсчитывают по нониусу десятые доли миллиметра, число которых равно номеру штриха на нониусе, совпавшему со штрихом основной шкалы.

— Штангенциркулем можно измерять внутренний диаметр отверстий и глубину отверстий (рис. 2).

— Проверяют штангенциркуль при сдвинутых щеках по совпадению нулевой отметки нониуса с нулевой отметкой шкалы линейки.

Микрометр. Основные части микрометра (рис.3) — стальная скоба 8 и втулка 3, имеющая с внутренней стороны микрометрическую резьбу, а на поверхности — шкалу с делениями в 0,5 мм и продольную черту. Во втулку ввертывается микрометрический винт 2. На правый конец винта насажена гильза 5, имеющая 50 делений. Гильза скреплена с микрометрическим винтом непосредственно или гайкой, навинчиваемой на ее правый конец. При вращении винта она вращается вместе с ним. С правой стороны микрометрического винта ввертывается трещотка 6, с помощью которой производится передвижение винта во втулке. Трещотка регулирует нажим на измеряемое тело и позволяет получать более точные результаты измерений микрометром. На левом конце скобы находится упорная щека — наковаленка 1. Для закрепления винта в определенном положении применяется фиксатор в виде рычажка или кольца 7.Шаг винта микрометра равен 0,5 мм, поэтому микрометр имеет на втулке шкалу с делениями через 0,5 мм. Число делений на гильзе равно 50, и, следовательно, от поворота гильзы на одно деление винт отходит от щеки на 0,01 мм; при двух оборотах гильзы последняя проходит 100 делений, и винт отодвигается от щеки на 1 мм. ГОСТом 6507 для микрометра МК с пределом измерения 25 мм и ценой деления 0,01 мм допускаемая погрешность нормирована ±4 мкм. При использовании микрометра с ценой деления 0,01 мм на лабораторных занятиях допускаемая погрешность может быть взята ±0,005 мм. Пример показания микрометра — 8,21 мм—дан на рисунке 4.

Правила пользования микрометром.

— Перед началом работы необходимо тщательно протереть измерительные плоскости микрометра, проверить плавность хода микровинта.и установку на нуль; если установка сбита, исправить микрометр может только специалист.

— Точная, окончательная установка винта при измерении производится трещоткой, иначе можно испортить нарезку микровинта.

— Не следует пользоваться микрометром с застопоренным фиксатором.

— После окончания работы микрометр следует протереть и аккуратно уложить в предназначенный для него футляр.

Ход работы.

1. Измерьте микрометром и штангенциркулем линейные размеры прямоугольного параллепипеда и цилиндра. Зафиксируйте полученные результаты в таблицы 1(а), 1(б) (для параллепипеда) и в таблице 2(а), 2(б) (для цилиндра). В таблицах 1(а), 2(а) запишите результаты измерений микрометром, 1(б),2(б) – штангенциркулем.

Таблица 1(а).