Общие сведения. Исследование устойчивостисистемы

Лабораторная работа № 1.

Исследование устойчивостисистемы.

Цель работы.

Цель работы - научиться оценивать устойчивость линейных САУ с помощью алгебраического критерия.

Общие сведения.

Одно из условий работоспособности системы управления - ее устойчивость. Под устойчивостью системы подразумевается ее свойство возвращаться к первоначальному состоянию после прекращения воздействия, выведшего систему из этого состояния. Неустойчивая система не возвращается к состоянию равновесия по окончанию воздействия, а непременно удаляется от него или совершает недопустимо большие колебания около него.

Пусть исследуемая функция задана передаточной функцией:

W(p) = B(p) / A(p) (1)

где А(р) и В(р) - многочлены относительно комплексной переменной Р=s+iw. Известно что свободное движение системы будет устойчиво, если все полюсы передаточной функции расположены слева от мнимой оси iw комплексной плоскости Р. Если хотя бы один полюс расположен справа от этой оси или находится на ней, то система не обладает свойствами устойчивости.

Полюсы передаточной функции могут быть найдены решением алгебраического уравнения А(р)=0, называемого характеристическим. Таким образом можно установить факт устойчивости или неустойчивости исследуемой системы.

В инженерной практике применяются специальные критерии, позволяющие по коэффициентам многочлена А(р) судить об отрицательности вещественных частей корней, не вычисляя их значений.

Существует много критериев устойчивости, но наиболее удобен для реализации на ЭВМ алгебраический критерий Рауса. На основе этого критерия построим алгоритм и программу исследования устойчивости линейной САУ.

Запишем многочлен А(р) из (1) в следующем виде:

(2)

Необходимое, но не достаточное условие устойчивости системы, как известно, есть положительность всех коэффициентов ее характеристического уравнения:

(3)

Необходимое и достаточное условие выводится по таблице Рауса (табл. 1), которую составляют по коэффициентам а1,а2,...,аn характеристического уравнения (2).

Таблица 1

		......
		.......
.....	.....	......	......	......
		.......

Таблица имеет (n+1) строк и m=(n/2+2) столбцов. Она заполняется по следующим правилам. Сначала записывают коэффициенты с нечетными индексами: с11=а0, с12=а2, с13=а4,..и последний элемент это нуль. Затем во вторую строку записывают коэффициенты с нечетными индексами: с21=а1, с22=а3, с23=а5,.. На место предпоследнего и последнего элементов второй строки записывают нули, если n нечетное. Если n четное, то нуль записывают только на последнем месте. Остальные элементы таблицы Рауса вычисляют по рекурентным формулам:

(4)

i = 3, 4,... n+1; k=1, 2,...,m.

Критерий Рауса формируется так: для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты первого столбца таблицы были положительны:

(5)

Если условие (5) не выполняется, система неустойчива. Число перемен знаков у коэффициентов первого столбца равно числу полюсов переменной функции, расположенных в правой полуплоскости.

При этом обращение в нуль какого-нибудь коэффициента трактуется как перемена знака. Структура таблицы Рауса такова, что

(S=1, 2,...), если сim=0. Этот факт используется при выполнении вычислений.

Таким образом, алгоритм исследования устойчивости системы должен предусматривать проверку необходимого условия (3) и вычисление элементов таблицы 1 по формулам (4). Одновременно проверяются условия (5).

Схема алгоритма вычислений приведена на рисунке 1. Здесь А - массив коэффициентов характеристического уравнения в порядке возрастания степеней Р: С - рабочий массив размером n+1, где n - порядок характеристического уравнения. Элементы этого массива С: являются коэффициентами первого столбца таблицы Рауса.