Дуализм свойств микрочастиц. Соотношение неопределенностей Гейзенберга

-----------------------------------------------------------------------

1. Неопределенность в определении местоположения частицы, движущейся вдоль оси x, равна длине волны де Бройля для этой частицы. Относительная неопределенность ее скорости не меньше _____ %.

-----------------------------------------------------------------------

Решение:
Из соотношения неопределенностей Гейзенберга для координаты и соответствующей компоненты импульса следует, что . Здесь – неопределенность координаты, – неопределенность x-компоненты импульса, – неопределенность x-компоненты скорости, – масса частицы; – постоянная Планка, деленная на . По условию , где – длина волны де Бройля, определяемая соотношением . Здесь – постоянная Планка. Подставляя это выражение в соотношение неопределенностей, получаем:

-----------------------------------------------------------------------

2. Ширина следа электрона на фотографии, полученной с использованием камеры Вильсона, составляет 1 мм. Учитывая, что постоянная Планка , а масса электрона неопределенность в определении скорости электрона будет не менее …

-----------------------------------------------------------------------

Решение:
Из соотношения неопределенностей Гейзенберга для координаты и соответствующей компоненты импульса следует, что , где – неопределенность координаты, – неопределенность x-компоненты импульса, – неопределенность x-компоненты скорости, – масса частицы; – постоянная Планка, деленная на . Неопределенность x-компоненты скорости электрона можно найти из соотношения

-----------------------------------------------------------------------

3. Если протон и -частица прошли одинаковую ускоряющую разность потенциалов, то отношение их длин волн де Бройля равно …

-----------------------------------------------------------------------

Решение:
-частица – это ядро атома гелия, состоящее из двух протонов и двух нейтронов. Длина волны де Бройля определяется по формуле , где p – импульс частицы. Импульс частицы можно выразить через ее кинетическую энергию: . По теореме о кинетической энергии, согласно которой работа сил электрического поля идет на приращение кинетической энергии, . Отсюда можно найти , полагая, что первоначально частица покоилась: Окончательное выражение для длины волны де Бройля через ускоряющую разность потенциалов имеет вид: Учитывая, что и отношение длин волн де Бройля протона и -частица равно:

-----------------------------------------------------------------------

4. Отношение длин волн де Бройля для протона и α-частицы, имеющих одинаковую кинетическую энергию, равно …

	1/2
	1/4

-----------------------------------------------------------------------

Решение:
Длина волны де Бройля определяется по формуле где p – импульс частицы. Импульс частицы можно выразить через ее кинетическую энергию: Тогда отношение длин волн де Бройля для протона и α-частицы, имеющих одинаковую кинетическую энергию, При этом учтено, что α-частица, состоящая из двух протонов и двух нейтронов, имеет массу

-----------------------------------------------------------------------

5. Отношение длин волн де Бройля для молекул водорода и кислорода, соответствующих их наиболее вероятным скоростям при одной и той же температуре, равно …

-----------------------------------------------------------------------

Решение:
Длина волны де Бройля определяется формулой где – постоянная Планка, и – масса и скорость частицы. Наиболее вероятная скорость молекулы Здесь k – постоянная Больцмана, R – универсальная газовая постоянная, – молярная масса газа. Тогда

-----------------------------------------------------------------------

6. Время жизни атома в возбужденном состоянии 10 нс. Учитывая, что постоянная Планка , ширина энергетического уровня (в эВ) составляет не менее …

-----------------------------------------------------------------------

Решение:
Соотношение неопределенностей для энергии и времени имеет вид , где неопределенность в задании энергии (ширина энергетического уровня), время жизни частицы в данном состоянии. Тогда

-----------------------------------------------------------------------

7. Если молекула водорода, позитрон, протон и -частица имеют одинаковую длину волны де Бройля, то наибольшей скоростью обладает …

	позитрон
	молекула водорода
	протон
	-частица

-----------------------------------------------------------------------

Решение:
Длина волны де Бройля определяется формулой , где – постоянная Планка, и – масса и скорость частицы. Отсюда скорость частицы равна . По условию задания , следовательно, . Тогда наибольшей скоростью обладает частица с наименьшей массой. Известно, что . Следовательно, наибольшей скоростью обладает позитрон.

-----------------------------------------------------------------------

8. Положение пылинки массой можно установить с неопределенностью . Учитывая, что постоянная Планка , неопределенность скорости (в м/с) будет не менее …

-----------------------------------------------------------------------

Решение:
Из соотношения неопределенностей Гейзенберга для координаты и соответствующей компоненты импульса следует, что , где – неопределенность координаты, – неопределенность x-компоненты импульса, – неопределенность x-компоненты скорости, – масса частицы; – постоянная Планка, деленная на . Неопределенность x-компоненты скорости пылинки можно найти из соотношения

-----------------------------------------------------------------------

УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА (ОБЩИЕ СВОЙСТВА)

-----------------------------------------------------------------------

1. Стационарное уравнение Шредингера имеет вид .
Это уравнение описывает …

	линейный гармонический осциллятор
	движение свободной частицы
	электрон в трехмерном потенциальном ящике
	электрон в водородоподобном атоме

-----------------------------------------------------------------------

Решение:
Стационарное уравнение Шредингера в общем случае имеет вид . Здесь – потенциальная энергия микрочастицы. В данной задаче соответствует гармоническому осциллятору, то есть движению частицы под действием квазиупругой силы. Следовательно, данное уравнение описывает движение частицы под действием квазиупругой силы, то есть линейный гармонический осциллятор.

-----------------------------------------------------------------------

2. Стационарное уравнение Шредингера описывает линейный гармонический осциллятор, если потенциальная энергия имеет вид …

-----------------------------------------------------------------------

Решение:
Стационарное уравнение Шредингера в одномерном случае имеет вид Здесь – потенциальная энергия. Выражение представляет собой потенциальную энергию линейного гармонического осциллятора. В этом случае уравнение Шредингера описывает линейный гармонический осциллятор.

-----------------------------------------------------------------------

3. Верным для уравнения Шредингера является утверждение, что оно …

	является нестационарным
	соответствует одномерному случаю
	является стационарным
	описывает состояние микрочастицы в одномерном бесконечно глубоком прямоугольном потенциальном ящике

-----------------------------------------------------------------------

Решение:
Уравнение называют нестационарным (временным) уравнением Шредингера, так как функция является функцией не только пространственных координат, но и времени, и оно содержит производную от функции по времени.

-----------------------------------------------------------------------

4. Верным для уравнения Шредингера , где = const является утверждение:

	Уравнение характеризует движение микрочастицы в области пространства, где потенциальная энергия – постоянная величина.
	Уравнение соответствует трехмерному случаю.
	Уравнение является нестационарным.
	Уравнение описывает линейный гармонический осциллятор.

-----------------------------------------------------------------------

Решение:
Уравнение стационарно, так как волновая функция не зависит от времени (отсутствует производная по времени). Стационарное уравнение Шредингера в общем случае имеет вид: . Здесь потенциальная энергия микрочастицы. По условию const. Для гармонического осциллятора . Поэтому из приведенных утверждений верным является следующее: «Уравнение характеризует движение микрочастицы в области пространства, где потенциальная энергия – постоянная величина».

-----------------------------------------------------------------------

5. Стационарное уравнение Шредингера в общем случае имеет вид . Здесь потенциальная энергия микрочастицы. Трехмерное движение свободной частицы описывает уравнение …

-----------------------------------------------------------------------

Решение:
Свободной называется частица, не подверженная действию силовых полей. Это означает, что . Поэтому трехмерное движение свободной частицы описывает уравнение .

-----------------------------------------------------------------------

6. Стационарное уравнение Шредингера в общем случае имеет вид . Здесь потенциальная энергия микрочастицы. Электрону в одномерном потенциальном ящике с бесконечно высокими стенками соответствует уравнение …

-----------------------------------------------------------------------

Решение:
Для одномерного случая . Кроме того, внутри потенциального ящика U = 0, а вне ящика частица находиться не может, так как его стенки бесконечно высоки. Поэтому уравнение Шредингера для частицы в одномерном ящике с бесконечно высокими стенками имеет вид .

-----------------------------------------------------------------------

7. Верным для уравнения Шредингера является утверждение:

	Уравнение характеризует движение электрона в водородоподобном атоме.
	Уравнение соответствует одномерному случаю.
	Уравнение является нестационарным.
	Уравнение описывает состояние микрочастицы в бесконечно глубоком прямоугольном потенциальном ящике.

-----------------------------------------------------------------------

Решение:
Уравнение стационарно, так как волновая функция не зависит от времени (отсутствует производная по времени). Стационарное уравнение Шредингера в общем случае имеет вид: . Здесь потенциальная энергия микрочастицы. В данном случае . Это выражение представляет собой потенциальную энергию электрона в водородоподобном атоме. Поэтому приведенное уравнение Шредингера характеризует движение электрона в водородоподобном атоме.

-----------------------------------------------------------------------

8. Стационарное уравнение Шредингера описывает движение свободной частицы, если потенциальная энергия имеет вид …

-----------------------------------------------------------------------

Решение:
Стационарное уравнение Шредингера в общем случае имеет вид Здесь – потенциальная энергия частицы. Свободной называется частица, не подверженная действию силовых полей. Это означает, что В этом случае приведенное уравнение Шредингера описывает движение свободной частицы.

-----------------------------------------------------------------------

9. Стационарное уравнение Шредингера имеет вид .
Это уравнение описывает движение …

	частицы в трехмерном бесконечно глубоком потенциальном ящике
	частицы в одномерном бесконечно глубоком потенциальном ящике
	линейного гармонического осциллятора
	электрона в водородоподобном атоме

-----------------------------------------------------------------------

Решение:
Бесконечная глубина ящика (ямы) означает, что потенциальная энергия частицы внутри ящика равна нулю, а вне ящика – бесконечности. Таким образом, 0. Поэтому движение частицы в трехмерном бесконечно глубоком потенциальном ящике описывает уравнение .

-----------------------------------------------------------------------

УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА (КОНКРЕТНЫЕ СИТУАЦИИ)

-----------------------------------------------------------------------

1. На рисунках схематически представлены графики распределения плотности вероятности по ширине одномерного потенциального ящика с бесконечно высокими стенками для состояний электрона с различными значениями главного квантового числа n:

В состоянии с n = 2 вероятность обнаружить электрон в интервале от до равна …

	1/2
	1/4
	3/4
	3/8

-----------------------------------------------------------------------

Решение:
Вероятность обнаружить микрочастицу в интервале (a, b) для состояния, характеризуемого определенной -функцией, равна . Из графика зависимости от х эта вероятность находится как отношение площади под кривой в интервале (a, b) к площади под кривой во всем интервале существования , то есть в интервале (0, l). При этом состояниям с различными значениями главного квантового числа n соответствуют разные кривые зависимости : n = 1 соответствует график под номером 1, n = 2 – график под номером 2 и т.д. Тогда в состоянии с n = 2 вероятность обнаружить электрон в интервале от до равна .

-----------------------------------------------------------------------

2. Момент импульса электрона в атоме и его пространственные ориентации могут быть условно изображены векторной схемой, на которой длина вектора пропорциональна модулю орбитального момента импульса электрона. На рисунке приведены возможные ориентации вектора .

Минимальное значение главного квантового числа n для указанного состояния равно …

-----------------------------------------------------------------------

Решение:
Магнитное квантовое число m определяет проекцию вектора орбитального момента импульса на направление внешнего магнитного поля: , где (всего 2 l + 1 значений). Следовательно, для указанного состояния . Квантовое число l не может превышать n – 1. Поэтому минимальное значение главного квантового числа n равно 3.

-----------------------------------------------------------------------

3. В результате туннельного эффекта вероятность прохождения частицей потенциального барьера уменьшается с …

	увеличением ширины барьера
	уменьшением массы частицы
	увеличением энергии частицы
	уменьшением высоты барьера

-----------------------------------------------------------------------

Решение:
Вероятность прохождения частицей потенциального барьера или коэффициент прозрачности определяется формулой: где постоянный коэффициент, близкий к единице, ширина барьера, масса частицы, высота барьера, энергия частицы. Следовательно, вероятность прохождения уменьшается с увеличением ширины барьера.

-----------------------------------------------------------------------

4. В результате туннельного эффекта вероятность прохождения частицей потенциального барьера увеличивается с …

	уменьшением массы частицы
	увеличением ширины барьера
	уменьшением энергии частицы
	увеличением высоты барьера

-----------------------------------------------------------------------

Решение:
Вероятность прохождения частицей потенциального барьера прямоугольной формы или коэффициент прозрачности определяется формулой: где постоянный коэффициент, близкий к единице, ширина барьера, масса частицы, высота барьера, энергия частицы. Следовательно, вероятность прохождения увеличивается с уменьшением массы частицы.

-----------------------------------------------------------------------

5. Момент импульса электрона в атоме и его пространственные ориентации могут быть условно изображены векторной схемой, на которой длина вектора пропорциональна модулю орбитального момента импульса электрона. На рисунке приведены возможные ориентации вектора :

Величина орбитального момента импульса (в единицах ) для указанного состояния равна …

-----------------------------------------------------------------------

Решение:
Магнитное квантовое число m определяет проекцию вектора орбитального момента импульса на направление внешнего магнитного поля , где (всего 2 l + 1 значений). Поэтому для указанного состояния . Величина момента импульса электрона определяется по формуле Тогда (в единицах ).

-----------------------------------------------------------------------

6. На рисунках схематически представлены графики распределения плотности вероятности обнаружения электрона по ширине одномерного потенциального ящика с бесконечно высокими стенками для состояний с различными значениями главного квантового числа n.

В состоянии с n = 3 вероятность обнаружить электрон в интервале от до равна …

	1/3
	1/2
	1/6
	2/3

-----------------------------------------------------------------------

Решение:
Вероятность обнаружить микрочастицу в интервале (a, b) для состояния, характеризуемого определенной -функцией, равна . Из графика зависимости от х эта вероятность находится как отношение площади под кривой в интервале (a, b) к площади под кривой во всем интервале существования , то есть в интервале (0, l). При этом состояниям с различными значениями главного квантового числа n соответствуют разные кривые зависимости : n = 1 соответствует график под номером 1, n = 2 – график под номером 2 и т.д. Тогда в состоянии с вероятность обнаружить электрон в интервале от до равна .

-----------------------------------------------------------------------

7. Момент импульса электрона в атоме и его пространственные ориентации могут быть условно изображены векторной схемой, на которой длина вектора пропорциональна модулю орбитального момента импульса электрона. На рисунке приведены возможные ориентации вектора .

Значение орбитального квантового числа и минимальное значение главного квантового числа для указанного состояния соответственно равны …

	,
	,
	,
	,

-----------------------------------------------------------------------

Решение:
Магнитное квантовое число m определяет проекцию вектора орбитального момента импульса на направление внешнего магнитного поля: , где (всего 2 l + 1 значений). Поэтому для указанного состояния . Квантовое число l не может превышать n – 1. Поэтому минимальное значение главного квантового числа .

-----------------------------------------------------------------------

8. Энергия электрона в атоме водорода определяется значением главного квантового числа . Если , то равно …

-----------------------------------------------------------------------

Решение:
Собственные значения энергии электрона в атоме водорода обратно пропорциональны (, где и – масса и заряд электрона соответственно). Тогда . Откуда получаем .

-----------------------------------------------------------------------

9. Квантовая и классическая частицы с энергией Е, движущиеся слева направо, встречают на своем пути потенциальный барьер высоты и ширины .

Если P − вероятность преодоления барьера, то для …

	квантовой частицы при , а при
	классической частицы при , а при
	квантовой частицы при , а при
	квантовой частицы зависит только от и не зависит от

-----------------------------------------------------------------------

Решение:
Поведение микрочастицы, встречающей на своем пути потенциальный барьер, существенно различается с точки зрения классической и квантовой механики. По классическим представлениям, если энергия частицы больше высоты барьера (), частица беспрепятственно проходит над барьером, то есть вероятность преодоления барьера . Если же , то частица отражается от барьера, сквозь барьер она проникнуть не может и . Согласно квантовой механике даже при имеется отличная от нуля вероятность отражения частицы от барьера и, следовательно, вероятность преодоления барьера . При имеется отличная от нуля вероятность того, что частица проникнет сквозь барьер и окажется в области, где , то есть .

-----------------------------------------------------------------------

10. Частица находится в прямоугольном одномерном потенциальном ящике с непроницаемыми стенками шириной 0,2 нм. Если энергия частицы на втором энергетическом уровне равна 37,8 эВ, то на четвертом энергетическом уровне равна _____ эВ.

	151,2
	75,6
	18,9
	9,45

-----------------------------------------------------------------------

Решение:
Собственные значения энергии частицы в прямоугольном одномерном потенциальном ящике определяются формулой: , где номер энергетического уровня. Следовательно, и .

-----------------------------------------------------------------------