Квантовые регистр. Определение. Определения. Многокубитовые квантовые гейты

Квантовый регистр - цепочка квантовых битов

Из двухкубитных операций мы задействуем всего одну: гейт «CNOT». Если матрица однобитной операции имеет размерность 2х2 (четыре числа), то матрица двухкубитной операции имеет уже размерность 4х4 (16 чисел). Но физический смысл чисел в матрице тот же: каждая строка матрицы показывает, в какой пропорции воздействие «расщепляет» то или иное базисное двухкубитное состояние. Матрица гейта «CNOT» выглядит так:
. При этом подразумевается, что:
- первая (верхняя) строка показывает, как воздействие расщепляет базисное состояние |00〉;
- вторая строка – расщепление базисного состояния |01〉;
- третья строка – расщепление базисного состояния |10〉;
- четвёртая строка – расщепление базисного состояния |11〉.
Логика работы гейта «CNOT» заключается в следующем. Операция никак «не затрагивает» группы |00〉 и |01〉, те, где контролирующий кубит равен нулю. А в тех группах, в которых контролирующий кубит равен единице – |10〉 и |11〉 – операция инвертирует значение рабочего бита. Иными словами, гейт «CNOT» превращает базисное состояние |10〉 в состояние |11〉 и наоборот.
На квантовых схемах гейт «CNOT» изображается так же, как и на классических:

В такой конфигурации кубит №1 - контролирующий, кубит №2 - «рабочий».
Разбирая классический «CNOT» мы говорили, что состояние контролирующего бита в результате операции не изменяется. Так вот, обращаю особое внимание на то, в квантовом случае ЭТО НЕ ТАК. Точнее, не всегда так. Смотрите, допустим, у нас имеется два кубита, «A» и «B», в следующих чистых состояниях:

Кубиты не запутаны друг с другом. Сепарабельное двухкубитное состояние системы |AB〉 мы можем записать как произведение однокубитных состояний |A〉 и |B〉:

Теперь применим к этим двум кубитам операцию «CNOT». Пусть при этом кубит «А» будет контрольным, кубит «B» – рабочим. В результате операции получаем:

Это уже не сепарабельное, а самое что ни на есть запутанное состояние. Таким образом мы запутали два «чистых» кубита в единую двухкубитную систему. Состояние и рабочего, и контролирующего кубита изменились - были чистыми, стали смешанными.
По сложившейся традидии изобразим работу гейта «CNOT» над состоянием (ф. 24.2) в виде диаграммы:

На правой диаграмме символы «А» и «B» обведены овальчиком – это чтобы показать, что кубиты запутались.
Однокубитные гейты в купе с двухкубитным гейтом «CNOT» уже составляют базис операций, достаточный для организации любых квантовых вычислений с кубитовым регистром какого угодно размера. Однако мы будем использовать при построении квантового компьютера ещё трёхкубитный гейт «CCNOT», который называют ещё «гейт Троффоли». Можно было бы обойтись и без него, но тогда вычислительные схемы будут выглядеть более громоздко и менее «усвояемо».
Матрица трёхкубитной операции «CCNOT» имеет размерность 8х8 (64 числа):

В гейте «CCNOT» два контролирующих кубита и один рабочий. Операция изменяет только те базисные состояния, где оба контролирующих бита равны единице. А именно, заставляет базисные состояния |110〉 и |111〉 «обменяться» амплитудами вероятности (смотрите две нижнох строки матрицы). Остальные шесть базисных состояний гейт «CCNOT» оставляет неизменными.
На схемах гейт «CCNOT» изображают так:

Здесь кубиты №1 и №2 – контролирующие, кубит №3 – рабочий.
Посмотрим, как гейт «CCNOT» действует на некоторое трёхкубитное состояние: