Для фотона

Групповая скорость волн де Бройля

do _ d(/ko) d£ d(M)

Групповая скорость волн де Бройля равна скорости частицы. Иными словами, волны де Бройля перемещаются вместе с частицей.

Для фотона

8. Соотношение неопределенностей.

Двойственная корпускулярно-волновая природа микрочастиц определяет еще одно необычное, с точки зрения классических представлений, свойство микрообъектов - невозможно одновременно точно определить координату и импульс частицы.

В самом деле, поскольку каждой частице соответствует волновой процесс, то неопределенность "местоположения" частицы порядка длины волны де Бройля Ах«X и классическое понятие траектории теряет смысл. Для макроскопических объектов длины волн де Бройля исчезающе малы, поэтому для них применимо понятие траектории движения.

В общем случае это свойство микрообъектов называется соотношением неопределенностей Гейзенберга:

Микрочастица не может иметь одновременно определенную координату (x,y,z) и определенную соответствующую проекцию импульса (р_х,р p_z),

причем неопределенности этих величин удовлетворяют соотношениям

Ах Ар_х > h, АуАр_у > h, AzAp_z > h,

т.е. произведение неопределенностей координаты и соответствующей ей проекции импульса не может быть меньше величины порядка h.

Соотношение неопределенностей проявляется в дифракции частиц. Пусть поток частиц движется вдоль оси Y с импульсом р. До прохождения частицы

через щель составляющая ее импульса р_х =0, так что Ар_х =0, а координата

х является совершенно неопределенной. В момент прохождения частицы через щель неопределенность координаты х частицы становится равной ширине щели Ах. Вследствие дифракции частицы будут двигаться в пределах угла 2ф, где ф- угол, соответствующий первому дифракционному минимуму. Таким образом, неопределенность в значении составляющей вдоль оси х

h

Ap_x = />sin(p =—sincp. С другой стороны, Axsin(p = A, - условие первого

X

дифракционного минимума (стр.6-15). Следовательно AxAp_x=h. Поскольку часть частиц попадает за пределы первого дифракционного максимума, то получаем выражение АхАр_х >h, т.е. соотношение неопределенностей.

Соотношение неопределенностей - квантовое ограничение применимости классической механики к микрообъектам.

Для микрочастицы не существует состояний, в которых ее координаты и соответствующие им проекции импульса имели бы одновременно точные значения.

Для неопределенности энергии АЕ некоторого состояния системы и промежутка времени At, в течение которого это состояние существует, также выполняется соотношение неопределенностей

AEAt > h.

Следовательно, система, имеющая среднее время жизни At, не может быть охарактеризована определенным значением энергии; разброс энергии AE-hfAt возрастает с уменьшением времени жизни системы и частота излученного фотона также должна иметь неопределенность Av = AE/h, т.е. спектральные линии должны иметь конечную ширину 5v = v ± AE/h.

9. Волновая функция и ее свойства.

Интенсивность волн де Бройля в данной точке пространства связана с числом частиц, попавших в эту точку, о чем свидетельствуют опыты по дифракции микрочастиц. Поэтому волновые свойства микрочастиц требует статистического (вероятностного) подхода к их описанию

Для описания поведения квантовых систем вводится волновая функция (другое название - пси-функция) ^(x^y^zj). Она определяется таким образом, чтобы вероятность dw того, что частица находится в элементе объема dV, была равна

dw = |'P²|dF.

Физический смысл имеет не сама функция а квадрат ее модуля |^vF|²=^vF^vF*, которым задается интенсивность волн де Бройля (здесь 'Р*-

функция, комплексно сопряженная с Ч*). Величина имеет смысл плотности вероятности p_w, а сама волновая функция имеет смысл амплитуды

вероятности. Условие нормировки вероятностей получается из того, что вероятность существования частицы где-либо в пространстве равна единице (интеграл вычисляется по всему бесконечному пространству).

Волновая функция, характеризующая вероятность обнаружения действия микрочастицы в элементе объема должна быть 1) конечной (вероятность не может быть больше единицы), 2) однозначной (вероятность не может быть неоднозначной величиной) и 3) непрерывной (вероятность не может изменяться скачком).

которыми помещается активная среда (кристалл Зеркало ^оеШртю

или кювета с газом). Фотоны В и С, I движущиеся под углами к оси кристалла или кюветы, выходят из активной среды через боковую поверхность. Фотоны А, движущиеся вдоль оптической оси, после многократного отражения от зеркал и усиления в активной среде, выходят через полупрозрачное зеркало, создавая строго направленный световой пучок когерентных фотонов.

Свойства лазерного излучения:

1. Временная и пространственная когерент­ность. Время когерентности т~10^-3с, что соответствует длине когерентности

/ = ст~10⁵м, что на семь порядков выше, чем для обычных источников света.

2. Строгая монохроматичность (ДА, < 10^-11 м).

3. Большая плотность потока энергии (характерные величины ~ Ю¹⁰ Вт/м²)

4. Очень малое угловое расхождение пучка (в 10⁴ раз меньше, чем у традиционных оптических осветительных систем, например у прожектора).

Элементы физики твердого тела.

Твердое кристаллическое тело рассматривается в зонной теории твердых тел как строго периодическая структура, в которой атомные ядра создают периодическое электрическое поле. Задача состоит в описании поведения электронов в этом поле.

Точное решение уравнения Шредингера для такой системы невозможно и, поэтому, используют различные упрощающие приближения, позволяющие свести задачу многих тел к одноэлектронной задаче об одном электроне, движущемся в заданном внешнем поле.

В основе зонной теории лежит так называемое адиабатическое приближение.

Квантово-механическая система разделяется на тяжелые и легкие частицы - ядра и электроны. Поскольку массы и скорости этих частиц значительно различаются, можно считать, что движение электронов происходит в поле неподвижных ядер, а медленно движущиеся ядра находятся в усредненном поле всех электронов. Принимая, что ядра в узлах кристалличе­ской решетки неподвижны, движение электрона рассматривается в постоянном периодическом поле ядер.

Далее используется приближение самосогласованного поля. Взаимодействие данного электрона со всеми другими электронами заменяется действием на него стационарного электрического поля, обладающего периодичностью кристаллической решетки. Это поле создается усредненным в пространстве зарядом всех других электронов и всех ядер.

Таким образом, в рамках зонной теории многоэлектронная задача сводится к задаче движения одного электрона во внешнем периодическом поле - усредненном и согласованном поле всех ядер и электронов.

Вынужденное излучение (вторичные фотоны) тождественно вынуждающему (первичным фотонам) - оно имеет такую же частоту, фазу, поляризацию, направление распространения.

Следовательно, вынужденное излучение строго когерентно с вынуждающим излучением, т.е. испущенный фотон неотличим от фотона, падающего на атом.

Испущенные фотоны, двигаясь в одном направлении и встречая возбужденные атомы, стимулируют вынужденные переходы - происходит размножение фотонов.

Для того чтобы происходило усиление излучения, необходимо, чтобы интенсивность вынужденного излучения превышала интенсивность поглощения фотонов. А для этого необходимо, чтобы заселенность возбужденного состояния (число атомов в возбужденном состоянии) была больше, чем заселенность основного состояния (число атомов в основном состоянии). Такое термодинамически неравновесное состояние называется состоянием с инверсией населенностей.

Процесс перевода системы в состояние с инверсией населенностей называется накачкой (осуществляется оптическими, электрическими и другими способами). Инверсная среда, в которой происходит усиление падающего на нее пучка света, называется активной. Закон Бугера / = /₀ехр(-ах) для таких сред имеет отрицательный коэффициент поглощения.

28. Лазеры.

Эффект усиления излучения в активных средах используется в оптических квантовых генераторах, или лазерах (Light Amplification of Stimulated Emission of Radiation - LASER).

Лазеры подразделяются:

— по типу активной среды (твердотельные, газовые, полупроводнико­вые и жидкостные);

— по методам накачки (оптические, тепловые, химические, электроиони- зационные и др.);

— по режиму генерации (непрерывного или импульсного действия).

Первый твердотельный лазер - рубиновый (длина волны излучения

0, 6943 нм) - работает по трехуровневой схеме: накачка кристалла рубина

Безызлучательный (^АЬ0₃ с примесью (-0,03%) Сг³⁺) переход переводит атомы хрома в возбужденное короткоживущее состояние 3 (переход 1^3), с которого происходит безызлуча­тельный переход в долгоживущее (мета- стабильное) состояние 2 - происходит "накопление" атомов хрома на уровне 2.

При достаточной мощности накачки их концентрация на уровне 2 будет гораздо больше, чем на уровне 1, т.е. возникает инверсная населенность уровня 2. (Спонтанные переходы 3^1 в данной системе незначительны).

Каждый фотон, случайно родившийся при спонтанном переходе 2^1, может породить в активной среде лавину вторичных фотонов.

Для многократного усиления лазерной генерации используется оптический резонатор - в простейшем случае - пара обращенных друг к другу параллельных (или вогнутых) зеркал на общей оптической оси, между

Волновая функция позволяет вычислить средние значения физических величин, характеризующих данный микрообъект. Например, среднее расстояние (г} имеет вид:

Волновая функция удовлетворяет принципу суперпозиции: если система может находиться в различных состояниях, описываемых волновыми функциями Yj,4*2,, то она также может находиться в состоянии, описываемом линейной комбинацией этих функций (где С_п (п = 1,2,...)-произвольные, вообще говоря, комплексные числа).

Сложение волновых Функций (амплитуд вероятностей), а не вероятностей (определяемых квадратами модулей волновых функций) принципиально отличает квантовую теорию от классической статистической теории, в которой для независимых событий справедлива теорема сложения вероятностей.

Ю.Общее уравнение Шредингера.

Основное уравнение нерелятивистской квантовой механики имеет вид

h² SY

------ А'Р + U(x,y,z,t)-^X¥ = ih--------,

2т ^V ' dt

. h _A d² d² d² где n = —; m — масса частицы; Д = —------------ _т - оператор Лапласа;

2п дх ду dz

i = 4^i - мнимая единица; U(x,y,z,t)~ потенциальная функция частицы в силовом поле, в котором она движется; ^X¥{x,y,z,t)~ искомая волновая функция частицы.

Уравнение дополняется условиями, накладываемыми на волновую функцию: (1) волновая функция должна быть конечной, однозначной и

непрерывной; (2) производные ----,-----,-----,----- должны быть непрерывны;

дх ду dz dt

I |2

(3) функция Y должна быть интегрируема; это условие в простейших случаях сводится к условию нормировки вероятностей.

11.Уравнение Шредингера для стационарных состояний.

Важным частным случаем общего уравнения Шредингера, является уравнение Шредингера для стационарных состояний, в котором исключена зависимость 'Р от времени и, поэтому, значения энергии этих состояний являются фиксированными (не изменяются со временем).

В этом случае силовое поле, в котором движется частица, стационарно, т.е. функция U = U(x,y,z) не зависит явно от времени и имеет смысл потенциальной энергии. Решение уравнения может быть представлено в виде произведения двух функций - функции только координат и функции только

времени ^{x,y,z,t) = \\r(x,y,z) ■ exp^-/-^j, где Е - полная энергия частицы.

Уравнение Шредингера

Й² (.Е Л _{k ТТ} (.Е Л.J.ЕЛ (.Е

-•ехр -г—t • А\|/ + U■ \|/• ехр -г—t \ = Щ -г— -\|/-ехр -г—t

2m \ h) I h) I h) \ h

после упрощений приобретает вид

tP' Iryj

Л\|/ + U\\i = E\\i или Аун—y(E-U)\|/ = 0

2т Тг

- уравнение Шредингера для стационарных состояний. Физический смысл имеют только регулярные волновые функции - конечные, однозначные и непрерывные вместе со своими первыми производными. Эти условия выполняются только при определенном наборе Е. Эти значения энергии называются собственными. Решения, которые соответствуют собственным значениям энергии, называются собственными функциями. Собственные значения Е могут образовывать как непрерывный, так и дискретный ряд. В первом случае говорят о непрерывном (или сплошном) спектре, во втором - о дискретном спектре.

12. Движение свободной частицы.

Для свободной частицы U(x) = 0 (пусть она движется вдоль оси х).

Решением уравнения Шредингера —^ + -^Ечг = 0

дх Тг²

,, ч, (i(Et-p_rx) будет функция------- т(х,0 = лехр(-/'со^ + ikx) = лехр —

I Й

К р

где А = const, со =—, к = —~ волновое число - может принимать любые

h Тг

П²к² р²

положительные значения, Е =------- = —-— непрерывный спектр энергий.

2т 2т

Таким образом, свободная квантовая частица описывается плоской монохроматической волной де Бройля. Этому соответствует не зависящая от времени плотность вероятности обнаружения частицы в данной точке

пространства |Ч^|“ = = |Л|“, т.е. все положения свободной частицы в

пространстве являются равновероятными.

13. Частица в одномерной прямоугольной "потенциальной яме" с беско­нечно высокими "стенками".

Рассмотрим одномерную "потенциальную яму"

х х < 0

0, 0 <х<1

СО, X > /

где /- ширина "ямы", а энергия отсчитывается от ее дна.

Уравнение Шредингера для стационарных состояний в пределах ямы

д²цг 2т д²цг _{2 п},2

—^- + —= 0 или —^- + £\|/ = 0, где к =—т—.

дх П² дх² П² За пределы "ямы" частица не проникает, поэтому волновая функция вне

"ямы" равна нулю, следовательно, на границах "ямы" непрерывная волновая функция также должна обращаться в нуль

\|/(0) = у(/) = 0.

Линии в спектре комбинационного рассеяния с частотами v = v₀-v_;, падающего света, называются стоксовыми (или

меньшими частоты красными) спутниками.

Линии с частотами

большими

-V₀-TV_;, UUJIDLUHIVm V₀,

антистоксовыми (или фиолетовыми) спутниками.

Квантовомеханическое объяснение эффекта Рамана', комбинационное рассеяние света есть процесс неупругого "столкновения" фотонов с молекулами, в котором один фотон поглощается и один фотон испускается молекулой.

Если энергии фотонов одинаковы, то в рассеянном свете наблюдается несмещенная линия.

Если молекула под действием света перейдет в возбужденное состояние, то испущенный фотон будет иметь меньшую частоту - возникает стоксов (красный) спутник.

Если молекула перейдет из возбужденного состояния в основное, то испущенный фотон будет иметь большую частоту - возникает антистоксов (фиолетовый) спутник. Интенсивность фиолетовых спутников растет с температурой, а красных практически не изменяется.

27. Поглощение. Спонтанное и вынужденное излучение.

Рассмотрим два квантовых состояния с энергиями Е_х и Е₂.

1. Поглощение. Если атом находится в основном состоянии Поглощение

1, то под действием внешнего излучения может осуществиться вынужденный переход в возбужденное состояние 2, приводящий к поглощению излучения.

2. Спонтанное излучение. Атом, находясь в возбужденном состоянии 2, может спонтанно (без внешних воздействий) перейти в основное состояние, испуская при этом фотон с энергией hv = E₂-E_l. Процесс испускания фотона возбужденным атомом без внешних воздействий называется спонтанным излучением. Чем больше вероятность спонтанных переходов, тем меньше среднее время жизни атома в возбужденном состоянии. Так как спонтанные переходы взаимно не связаны, то спонтанное излучение некогерентно.

3. Вынужденное излучение. А. Эйнштейн для объяснения наблюдавшегося на опыте термодинамического равновесия между веществом и испускаемым и поглощаемым им излучением постулировал, что помимо поглощения и спонтанного излучения должен существовать третий, качественно иной тип взаимодействия. Если на атом, находящийся в Вынужденное

возбужденном состоянии 2, действует внешнее излучение с ------------------

частотой, удовлетворяющей условию hv = E₂-E_l, то возникает вынужденный (индуцированный) переход в основное состояние 1 с излучением фотона той же энергии hv = Е₂ - Л, дополнительно к тому фотону, под действием которого произошел переход. Таким образом, в процесс вынужденного излучения вовлечены два фотона: первичный фотон вызывающий (стимулирующий) испускание излучения возбужденным атомом и вторичный фотон, испущенный атомом.

Колебательная энергия, при небольших значениях колебательного квантового числа и, определяется формулой для энергии гармонического осциллятора

^кол⁼(^и + ^ю (и = 0,1, 2,...).

При этом правило отбора для колебательного квантового числа

Ди = ±1.

Вращательная энергия молекулы, вращающейся с угловой скоростью со_;., и имеющей момент инерции / относительно оси, проходящей через центр

ее инерции,равна

_ /со² _ (/со,.)² _ М^{2 вращ} 2 21 21 ' где М = /со_;. - момент импульса молекулы.

Момент импульса квантуется по закону

M=hjjti +1) (j = 0,1,2,...),

где j - вращательное квантовое число.

Следовательно, вращательная энергия молекулы может иметь только квантованные значения

Ь²М +1)

Е„

вращ 2/

Правило отбора для вращательного квантового числа

А/ = ±1.

При переходе из одного энергетического состояния в другое, с учетом правил отбора, поглощается или испускается фотон с энергией АЕ = hv. На рисунке представлена схема уровней энергии двухатомной молекулы (для примера представлены только два электронных уровня: основное электронное состояние и первое возбужденное электронное состояние).

Типичные молекулярные спектры представляют собой совокупность полос (полосатые спектры), которые в свою очередь состоят из огромного числа настолько тесно расположенных линий - переходов между энергетическими уровнями, что их можно разделить, только используя спектральные приборы высокой разрешающей силы.

26. Комбинационное рассеяние света (эффект Рамана).

Если на вещество (газ, жидкость, прозрачный кристалл) падает строго монохроматический свет с частотой v₀, то в спектре рассеянного света наряду с частотой v₀ источника излучения наблюдаются дополнительные

'о

линии с частотами v = v₀±v₍, где v₍ - частоты колебательных или вращательных переходов рассеивающих молекул.

Этим граничным условиям удовлетворяет решение уравнения Шредингера

..,., _, _., пп,2 2тЕ

i|/(x) = ylsmbc + В cos кх при с = 0 и к = —. Поскольку к = ₂, то

(п = 1, 2, 3,...) - собственные значения энергии.

	Минимально возможное значение энергии

Таким образом, энергия частицы в бесконечно высокой потенциальной "яме" принимает лишь определенные дискретные значения, т.е. квантуется.

Квантованные значения энергии Е_п называются уровнями энергии, а число п, определяющее энергетические уровни частицы называется главным квантовым числом.

.... ПК

Собственные волновые функции Ц1„(^х) = ^т~^х' ^с У^четом

г/ 9 2 Г^ • 2

нормировки \\J_n(x)dx = A sin —xdx = 1, будут иметь вид

*о»о I

V„(x) = ^s^m™x (п = 1,2,3,...)

На рисунке изображены графики собственных функций (а) и плотность вероятности (б) обнаружения частицы на разных расстояниях от "стенок" ямы, определяемая выражением

К(*)|² =Ч/„(*)1|/*(*).

14. Прохождение частицы через потенциальный барьер. Туннельный эффект.

Рассмотрим простейший потенциальный барьер прямоугольной формы (высота U и ширина I) для одномерного движения частицы

О, х < 0 (область 1)

U{x) = <U, 0 <х<1 (область 2)

О, х>1 (область 3)

Вид волновых функций, являющихся решениями уравнения Шредингера для областей 1, 2 и 3 (см. рисунок и таблицу) свидетельствует о том, что:

1) В области 1 волновая функция представляет собой сумму двух плоских волн - движущейся в сторону барьера и отраженной от барьера.

2) В области 2 в случае Е <U:

■sj2m(U - Е)

h

Г Г

Таким образом, квантовая механика приводит к принципиально новому специфическому квантовому явлению, получившему название туннельного эффекта, в результате которого микрообъект может "пройти" сквозь потенциальный барьер.

Для описания туннельного эффекта используют понятие коэффициента прозрачности D потенциального барьера, определяемого как отношение квадратов модулей прошедшей и падающей волны. Для случая прямоугольного потенциального барьера

В = I^L = Г>₀ expf-^V2_m(f/-£)l.

\А\ ^ ^h >

Для потенциального барьера произвольной формы

г Л

I) = /)₀ ехр

^х\

Прохождение частицы сквозь область, в которую, согласно законам классической механики, она не может проникнуть, можно пояснить соотношением неопределенностей. Неопределенность импульса Ар на

h

отрезке Ах = 1 составляет Ар> —. Связанная с этим разбросом в значениях

может оказаться достаточной для того,

чтобы полная энергия частицы оказалась больше потенциальной.

15. Линейный гармонический осциллятор в квантовой механике.

Линейный гармонический осциллятор - система, совершающая одномерное движение под действием квазиупругой силы, является моделью, которая часто используется при описании классических и квантовых систем.

v = R{Z-o)²\^j--₂ \m n

где R - постоянная Ридберга, m = 1,2,3,... определяет рентгеновскую серию (L,M,N,...), п принимает целочисленные значения начиная с т +1 (определяет отдельную линию а,|3,у,... соответствующей серии), а - постоянная экранирования, учитывающая экранирование данного электрона от атомного ядра другими электронами атома. Закон Мозли обычно

выражают формулой -\/со = C(Z -а) (С и а - константы).

25. Молекулярные спектры.

Молекула - это наименьшая частица вещества, состоящая из одинаковых или различных атомов, соединенных между собой химическими связями, и являющаяся носителем его основных химических свойств.

Химические связи обусловлены взаимодействием внешних (валентных) электронов атомов. Наиболее часто в молекулах встречаются два типа связи:

1) Ионная связь осуществляется кулоновским притяжением атомов при переходе электрона от одного атома к другому (например, в молекуле

NaCl: Na⁺ •••СГ)

2) Ковалентная связь осуществляется при обобществлении валентных электронов двумя соседними атомами (вследствие неразличимости тождественных частиц). Наглядно можно представить себе, что электрон каждого атома молекулы проводит некоторое время у ядра другого атома (обмен электронами). Такое специфически квантовое взаимодействие называется обменным взаимодействием.

Молекула является квантовой системой; она описывается уравнением Шредингера, учитывающим движение электронов в молекуле, колебания атомов в молекуле, вращение молекулы. Решение этого уравнения - очень сложная задача, которая (учитывая огромное различие в массах электронов и ядер) обычно разбивается на две: для электронов и ядер.

Энергию изолированной молекулы можно представить в виде суммы

^Е~^Еэл^{+ Е}кол + ^вращ >

где Е_ш - энергия движения электронов относительно ядер, Е_кол- энергия ко­лебаний ядер, Е_вращ- энергия вращения ядер. Соотношение между ними

т т

F ' F ' F = 1 * I ■

ЭЛ • кол • вращ V Д/ ' М ’

где т - масса электрона, М - величина, имеющая порядок массы ядер

И0. Поэтому:» Е_коя» Е_вращ. 1-ПОэВ, Е_Л

атомов в молекуле.

Масштаб энергий: Е

кол ’ вращ

Каждая из энергий квантуется и определяется квантовыми числами.

Принцип Паули, лежащий в основе систематики заполнения электронных состояний в атомах, объясняет периодическую систему элементов Д.И.Менделеева повторяемостью в структуре внешних оболочек у атомов родственных элементов (см. стр.7-32).

24. Рентгеновские спектры.

Самым распространенным источником рентгеновского излучения является рентгеновская трубка, в которой вылетающие с катода К электроны бомбардируют анод А (антикатод), изготовленный из тяжелых металлов (W, Си, Pt и т.д.).

Рентгеновское излучение, исходящее из анода, состоит из сплошного спектра тормозного излучения, возникающего при торможении электронов в аноде, и линейчатого спектра характеристического излучения, определяемого материалом анода.

Тормозное излучение имеет коротковолновую границу ^_mn, называемую границей сплошного спектра, которая соответствует ситуации, при которой вся энергия электрона переходит в энергию рентгеновского кванта

F =hv =eJT

max max >

где U - разность потенциа­лов между анодом и катодом.

Граничная длина волны

с ch ch

-

eU

' max ~ ^ ""max

не зависит от материала анода, а определяется только напряжением на трубке.

Линии характеристиче­ского излучения возникают в результате переходов электронов во внутренних оболочках атомов, которые имеют сходное строение у всех элементов. Поэтому спектры характеристического излучения разных элементов имеют сходный характер, они состоят из нескольких серий, обозначаемых К, L, М, N и О.

Каждая серия, в свою очередь, содержит небольшой набор отдельных линий, обозначаемых в порядке убывания длины волны индексами а, Р, у,...

При возбуждении электроном (или фотоном) из атома удаляется один из внутренних электронов, например, из К -слоя. Освободившееся место может быть занято электроном из какого-либо внешнего слоя {L, М, N и т.д. - при этом возникает К -серия).

При увеличении атомного номера Z весь рентгеновский спектр смещается в коротковол­новую часть, не меняя своей структуры.

Закон, связывающий частоты линий с атомным номером Z испускающего их элемента, называется законом Мозли:

Потенциальная энергия гармонического осциллятора равна U =

	где со0 - собственная частота колебаний осциллятора, т - масса частицы. Классический осциллятор не может выйти за пределы "потенциальной ямы" с координатами -хтах < х < +хтах. Уравнение Шредингера для стационарных состояний квантового
	где Е - полная энергия осциллятора. Собственные значения энергии для этого уравнения Еп={п + ^)Ыъ («= °Л,2,---) Таким образом, энергия квантового осциллятора квантуется (может иметь лишь дискретные значения). Уровни энергии расположены на одинаковых расстояниях, равных /гсо0.

называется энергией нулевых

колебаний.

Существование энергии нулевых колебаний - типично квантовый эффект

- прямое следствие соотношения неопределенностей.

Частица в яме любой формы не может находиться на ее дне, поскольку в нуль обращается импульс частицы и его неопределенность, а неопределенность координаты становится бесконечной, что противоречит, в свою очередь, условию пребывания частицы в "потенциальной яме".

Правилами отбора в квантовой механике называются условия, накладываемые на изменения квантовых чисел.

Для гармонического осциллятора возможны лишь переходы между соседними подуровнями, т.е. переходы, удовлетворяющие правилу отбора

Ап = ±\.

Следовательно, энергия гармонического осциллятора может изменяться только порциями Йсо и гармонический осциллятор испускает и поглощает энергию квантами.

Квантово-механическое решение задачи о квантовом осцилляторе

показывает, что имеется отличная от нуля вероятность обнаружить частицу за пределами области -х_тах < х < +х_тах.

На рисунке приведена квантовая плотность вероятности обнаружения осциллятора при n = 1, имеющая конечные

значения для х >

		Квантовая физика атомов и молекул.
		16. Атом водорода в квантовой механике. На примере водородоподобных атомов - простейших атомов, содержащих единственный внешний электрон, - рассмотрим основы систематики квантовых состояний атомов. Поле водородоподобного атома - это пример центрального поля. В таком поле удобно использовать сферическую систему координат: г, 9, ср. Потенциальная энергия кулоновского взаимодействия электрона с атомным ядром, обладающим зарядом Ze (для атома водорода Z = 1)
	Собственные волновые функции \|/ = v|/Htol(r,9,cp) определяются тремя квантовыми числами: главным п, орбитальным 1 и магнитным т. 17. Квантовые числа. — Главное квантовое число п определяет энергетические уровни электрона в атоме п = \, 2,3,... — Орбитальное квантовое число / при заданном п принимает значения / = 0,1, 2,..., (и -1). и определяет величину момента импульса (механический орбитальный момент) электрона в атоме L, = Ьф(1 +1).

распределение Максвелла-Больцмана (\'₍) = А ехр

А = exp^-^-J. Таким образом, при высоких температурах оба "квантовых" газа

ведут себя подобно классическому газу.

22. Принцип Паули.

Системы электронов (фермионов) встречаются в природе только в состояниях, описываемых антисимметричными волновыми функциями.

Отсюда следует, что два одинаковых электрона (фермиона), входящих в одну систему, не могут находиться в одинаковых состояниях (иначе при перестановке волновая функция была бы четной).

(Отметим: в одинаковом состоянии может находиться любое число бозонов.) Другая формулировка принципа Паули: в одном и том же атоме не может быть более одного электрона с одинаковым набором четырех квантовых чисел /, m. m_s.

23. Распределение электронов в атоме по состояниям.

Совокупность электронов в многоэлектронном атоме, имеющих одно и то же главное квантовое число п, называется электронной оболочкой.

Максимальное число электронов, находящихся в состояниях определяемых данным главным квантовым числом, равно

п-1

Z(/?) = ^2(2/ + l) = 2/7².

1=0

В каждой из оболочек электроны распределяются по подоболочкам, соответствующим данному 1.

Поскольку / принимает значение от 0 до п-l, то число подоболочек равно порядковому номеру п оболочки.

Количество электронов в подоболочке определяется квантовыми числами т и m_s - максимальное число электронов в подоболочке с данным 1 равно

2(2/+1).

Обозначения оболочек, а также распределение электронов по оболочкам

21.Понятия о квантовой статистике Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака.

Аналогично классическим статистическим методам, применяемым в молекулярной физике для исследования большого числа подобных объектов (атомов, молекул), для квантовых систем, состоящих из огромного числа неразличимых тождественных квантовых частиц, подчиняющихся законам квантовой механики, применяются методы квантовой статистики.

Напомним, что в молекулярной физике классических систем распределе­ние частиц идеального газа по энергиям во внешнем потенциальном поле W при заданной температуре Т описывается распределением Больцмана

С w)

п =и₀ехр1 у ^где л-постоянная Больцмана.

В квантовой статистике также используется модель идеального газа квазичастиц, причем основной характеристикой данного квантового состояния с данным набором i квантовых чисел, является число заполнения N_j: указывающее степень заполнения данного квантового состояния частицами системы, состоящей из множества тождественных частиц. Для систем частиц, образованных бозонами, числа заполнения могут принимать любые целые

значения: 0,1,2,____ Для систем частиц, образованных фермионами, числа

заполнения могут принимать лишь два значения: 0 для свободных состояний и

1 для занятых. Сумма всех чисел заполнения должна быть равна числу частиц системы. Квантовая статистика позволяет подсчитать среднее число частиц в данном квантовом состоянии, т.е. определить средние числа заполнения (N^.

Идеальный газ из бозонов - бозе-газ - описывается квантовой статистикой Бозе-Эйнштейна.

Распределение Бозе-Эйнштейна - закон, выражающий распределение частиц по энергети­ческим состояниям в бозе-газе: при статистическом равновесии и отсутствии взаимодействия среднее число частиц в i -м состоянии с энергией E_t равно:

где к- постоянная Больцмана, Т- термодинамическая (абсолютная) температура, ц,- химический потенциал - термодинамическая функция состояния, определяющая изменение внутренней энергии (и, вообще говоря, других термодинамических потенциалов) системы при изменении числа частиц в системе, при условии, что все остальные величины, от которых зависит внутренняя энергия (энтропия, объем, и т.д.), фиксированы. Химический потенциал необходим для описания свойств открытых систем (систем с переменным числом частиц).

Идеальный газ из фермионов - ферми-газ - описывается квантовой статистикой Ферми-Дирака.

Распределение Ферми-Дирака - закон, выражающий распределение частиц по энергетиче­ским состояниям в ферми-газе: при статистическом равновесии и отсутствии взаимодействия среднее число частиц в i -м состоянии с энергией E_t равно:

При высоких температурах, когда exp((i?_i. - \x)/kT^»1, оба распределения Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака переходят в классическое

— Магнитное квантовое число т приданном 1 принимает значения

т = 0, ± 1, ± 2,..., ± 1. и определяет величину момента импульса электрона в заданном направлении. Так орбитальный момент импульса электрона Z₇ может иметь лишь такие ориентации в пространстве, при которых проекция L_b вектора L_t на направление внешнего магнитного поля принимает только квантованные значения, кратные Й (пространственное квантование)

L_t = тП.

Таким образом, вектор Z₇ может принимать 2/ + 1 ориентаций в пространстве. На рисунке приведены возможные ориентации векторов Z₇ для электронов с

1 = 1 (а) и 1 = 2 (б).

Соответственно, в магнитном поле уровень с главным квантовым числом л расщепляется на 2/ + 1 подуровней - эффект Зеемана.

Расщепление уровней энергии во внешнем электрическом поле называется эффектом Штарка.

В квантовой механике квадрат модуля волновой функции определяет вероятность обнаружения электрона в единице объема. Вероятность обнаружения электрона в разных частях атома различна. Электрон при своем движении как бы "размазан" по всему объему, образуя электронное облако, плотность (густота) которого характеризует вероятность нахождения электрона в различных точках объема атома.

Квантовые числа л и I характеризуют размер и Форму электронного облака, а квантовое число т характеризует ориентацию электронного

облака в пространстве. В атомной физике, по аналогии со спектроскопией, состояние электрона, характеризующееся квантовым числом 1 = 0, называется s —состоянием (электрон в этом состоянии называется s -электроном), 1 = 1- р -состоянием, I = 2 - d-состоянием, / = 3 - /-состоянием и т.д.

На рисунке показаны графические изображения (полярные диаграммы) плотностей вероятности для s р d - и /-электронов и соответствующее каждому случаю пространственное квантование - такая ориентация боровских орбит, при которой проекция момента импульса имеет соответствующее значение (например, + 2Й для 1 = 2, т = 2).

18. Правила отбора.

Переходы между электронными состояниями возможны только в том случае, если:

1) изменение А/ орбитального квантового числа I удовлетворяет условию

А/ = +1,

2) изменение А/;; магнитного квантового числа т удовлетворяет условию

А/;; = 0, +1.

Так, например, в атоме водорода переходы np^-ls (и = 2,3,...) образуют серию Лаймана, а переходы wp —» 2s, ws—»2/>, nd^2p (и = 3,4,...)-серию Бальмера.

19. Спин электрона.

Электрон обладает собственным неуничтожимым механическим моментом импульса, не связанным с движением электрона в пространстве, - спином.

Спин был обнаружен в экспериментах Штерна и Герлаха при прохождении узкого пучка атомов водорода, находящихся в s -состоянии через сильное неоднородное магнитное поле. В этом состоянии 1 = 0, момент импульса L₀=hJl(I +1)=0 и магнитное поле не должно было влиять на движение атомов. Однако пучок атомов расщеплялся на два пучка, следовательно, было обнаружено пространственное квантование механического момента, не связанного с орбитальным движением электрона.

Часто спин электрона наглядно представляют, как момент импульса, связанный с вращением электрона - твердого шарика - вокруг своей оси, но такая модель приводит к абсурдному результату - линейная скорость на поверхности электрона в 200 раз превышает скорость света.

Поэтому следует рассматривать спин электрона (и всех других микрочастиц) как внутреннее неотъемлемое квантовое свойство микрочастицы, подобно тому, как частицы имеют массу, а заряженные частицы

- заряд, они имеют еще и спин.

Спин L_s, как механический момент, квантуется по закону

L_s = hyfs(s+1),

где s - спиновое квантовое число. Проекция L_s: спина квантуется так, что вектор L_s может принимать 2s +1 ориентаций. Так как опыты Штерна и

Герлаха обнаружили только две ориентации спина, то 2s +1 = 2, откуда: s = —.

Проекция L_s:=hm_s, где т, - магнитное спиновое квантовое число,

которое может иметь только два значения: т, = +—.

Таким образом, состояние электрона в атоме определяется набором четырех квантовых чисел:

главного и (и = 1,2,3,...) орбитального / (/ = 0,1, 2,..., и -1)

магнитного т {т 1, 0, +1,..., +/)

1 1.

магнитного спинового пк ш=-\—,--------------)

* 2 2

20. Принцип неразличимости тождественных частиц. Фермионы и бозоны.

В квантовой физике частицы, имеющие одинаковые физические свойства

- массу, электрический заряд, спин и т.д. являются тождественными.

Принцип неразличимости тождественных частиц-, тождественные частицы экспериментально различить невозможно.

Этот фундаментальный (основополагающий) принцип квантовой физики не имеет аналога в классической физике. В классической механике одинаковые частицы можно различить по положению в пространстве и отследить их траекторию. В квантовой механике, поскольку понятие траектории лишено смысла, то частицы полностью теряют свою индивидуальность и становятся неразличимыми.

Математическая запись принципа неразличимости

Р I,.|2

|\|/(Xi,X₂)|' =|v|/(x₂,x₁)|'

где Xj и х₂ - соответственно совокупность пространственных и спиновых координат первой и второй частиц. Возможны два случая:

l|/(X],Xi) = l|/(Xi,X]) и l|/(X],Xi) = -l|/(Xi,X]).

В первом случае волновая функция системы при перемене частиц местами не меняет знака: такая функция называется симметричной.

Во втором случае при перемене частиц местами знак волновой функции изменяется: такая функция называется антисимметричной.

При этом характер симметрии не меняется со временем, т.о. свойство симметрии или антисимметрии - признак данного типа частицы.

Симметрия волновых функций определяется спином частиц.

Частицы с полуцелым спином (например, электроны, протоны, нейтроны) описываются антисимметричными волновыми функциями и подчиняются статистике Ферми-Дирака: эти частицы называются фермионами.

Частицы с нулевым или целочисленным спином (например, к -мезоны, фотоны) описываются симметричными волновыми функциями и подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна; эти частицы называются бозонами.

- вектора напряженности

электростатического поля 3-6

- индукции магнитного поля 4-10 цуг волн 6-7

ч

частота вращения 1-7

- колебаний 5-3

- круговая 5-2

- циклическая 5-2 частная производная 1-28 число Авогадро 1-32, 2-4

- зарядовое 8-2

- Лошмидта 2-6

- массовое 8-2

- Рейнольдса 1-21

- степеней свободы 2-11

ш

шкала Кельвина 2-3

- Цельсия 2-3

- электромагнитных волн 5-32 Штейнера теорема 1-15

э

ЭДС 3-23

- самоиндукции 4-17

- электромагнитной индукции 4-14 Эйнштейна постулаты 1-25 эквипотенциальные поверхности 3-9 экзотермические реакции 8-14 экстратоки самоиндукции 4-18 экситон 7-29 электродвигатель 4-15 электроемкость 3-18

- конденсатора 3-18 электрон 3-2, 8-20

- оптический 6-19 элементарная работа силы 1-12 элементарные частицы 8-20 эмиссия автоэлектронная 3-31

- вторичная электронная 3-31 -термоэлектронная 3-31

- фотоэлектронная 3-31 эндотермические реакции 8-14 энергия 1-12

- внутренняя 2-11

- Гельмгольца 2-19

- заряженного конденсатора 3-20

- проводника 3-20

- ионизации 3-31, 7-3 -кинетическая 1-12, 1-27 -- вращения 1-15

- заряда потенциальная 3-7

- магнитного поля 4-20

- молекулы средняя 2-7, 2-12

- отдачи ядра 8-12

- поверхностная 2-25

- покоя 1-27

- потенциальная 1-13

- релятивистской частицы 1-27

- свободная 2-19

- связи ядра 8-3

- системы зарядов 3-19

- полная механическая 1-13 -тела полная 1-27

- электромагнитных волн 5-31

- электростатического поля 3-20 энтропия 2-18

эффект диамагнитный 4-23

- Допплера 5-26

- Зеемана 7-15

- Керра 6-24

- Комптона 6-32

- Коттона-Муттона 6-24

- Мёссбауэра 8-12

- парамагнитный 4-23

- Рамана 7-22

- Фарадея 6-25

- Холла 4-9

- Штарка 7-15

эффективный диаметр молекулы 2-9

я

явление электромагнитной индукции 4-14

явления капиллярные 2-27

- переноса 2-9

ядерные фотоэмульсии 8-13

- реакторы 8-18 ядро атома 7-2, 8-2

- дочернее 8-6

- материнское 8-6 яркость 6-5, 6-6 ячейка Керра 6-24

А. Н. Огурцов ФИЗИКА ДЛЯ СТУДЕНТОВ

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА

ЛЕКЦИИ ПО ФИЗИКЕ

И

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

http://users.kpi.kharkov.ua/ogurtsov/lect8nucl-7.pdf http://www.ilt.kharkov.ua/bvi/ogurtsov/ln.htm

Полное или частичное копирование и тиражирование текста в некоммерческих образовательных целях разрешается и приветствуется. Автор.

Строение и важнейшие свойства ядер

1. Атомные ядра и их описание.

Ядром называется центральная часть атома, в которой сосредоточена практически вся масса атома и его положительный электрический заряд.

В экспериментах Резерфорда по прохождению а-частиц через металличе­скую фольгу было обнаружено, что атомные ядра имеют размеры порядка 10^-14—10^_15м, в то время как линейные размеры атомов примерно 1СГ¹⁰м.

Атомное ядро состоит из элементарных частиц - протонов (р) и

нейтронов (и), которые считаются двумя зарядовыми состояниями одной

частицы - нуклона (от лат. nucleus - ядро). Протон имеет положительный электрический заряд, равный по абсолютной величине заряду электрона. Нейтрон не имеет электрического заряда. Массы нуклонов:

т =1,6726 • 1СГ²⁷кг *1836»;,

г ^е

m_n = 1,6749 • 1СГ²⁷ кг «183 9т_е.

Общее число нуклонов в атомном ядре А называется массовым числом.

Заряд ядра равен величине Ze, где е - заряд протона, Z- зарядовое число ядра, равное числу протонов в ядре (совпадает с порядковым номером химического элемента в Периодической системе элементов - атомным номером).

Ядро химического элемента Л' с атомным номером Z и массовым числом А обозначается

zX.

Поскольку атом нейтрален, то заряд ядра определяет число электронов в атоме, от которого зависит их распределение по состояниям в атоме, а следовательно, зависят химические свойства атома.

Изотопами называются ядра с одинаковым атомным номером Z (зарядом или числом протонов), но разными А (т.е. разным числом нейтронов N = A-Z). Например, изотопы водорода (Z=l): протий - |Н

(Z = 1, N = 0), дейтерий - ²Н (Z = 1, N = 1), тритий - jH (Z =1, N = 2).

Изобарами называются ядра с одинаковым массовым числом А, но разными Z. Например, ²¹gjTl, ^Pb, ^Bi.

Изотонами называются ядра с одинаковым числом нейтронов N = A — Z. Например, 'gC, ^N, 'gO.

Наряду с термином ядро атома часто используется также термин нуклид.

Самым тяжелым из имеющихся в природе элементов является изотоп

урана “goU. Элементы с атомными номерами больше 92 называются трансурановыми. Все они получены искусственно в результате различных ядерных реакций.

Размер ядра характеризуется радиусом ядра, имеющим условный смысл ввиду размытости границ ядра. Эмпирическая формула для радиуса ядра

R R V. 1 •

- Ван-дер-Ваальса 2-23

- волновое 5-23

- вынужденных колебаний 5-15

- гармонических колебаний 5-3

- Клапейрона-Клаузиуса 5-32

- Майера 2-14

- Максвелла 4-30

- Менделеева-Клапейрона 2-5

- молекулярно-кинетической теории

идеальных газов основное 2-6

- неразрывности 1-19

- плоской волны 5-22

- Пуассона 2-16

- состояния идеального газа 2-5

- стоячей волны 5-25

- уравнение Шредингера 7-9

- Эйнштейна для внешнего

фотоэффекта 6-30 уровень акцепторный 7-28

- донорный 7-28

- примесный 7-27 ускорение 1-5

- среднее 1-5

- мгновенное 1-5

- нормальное 1-6

- полное 1-6 -тангенциальное 1-6

- угловое 1 -7

условие интерференционного максимума 6-8

- минимума 6-8

Ф

фаза 2-24, 2-31

- колебания 5-2 фазовый переход 2-31

- первого рода 2-31

- второго рода 2-31 фарад 3-3, 3-18 Фейнмана диаграммы 8-20 фермионы 7-17 ферромагнетики 4-26 фигуры Лиссажу 5-11 физические законы 1-2

- модели 1-3 флуоресценция 7-29 фокальная плоскость 6-2 фокус линзы 6-3 фокусное расстояниеб-4 формула Бальмера 7-3

- барометрическая 2-8

- Больцмана 2-20

- Вина 6-27

- Вульфа-Брэггов 6-17

- Гаусса-Остроградского 1-31

- де Бройля 7-6

- Лапласа 2-26

- Лоренца 4-8

- Планка 6-28

- Рэлея-Джинса 6-27

- Томсона 5-9

- тонкой линзы 6-4

- Френеля 5-30 фосфоресценция 7-29 фотолюминесценция 7-29 фотометрия 6-5

фотон 6-30, 8-20

- виртуальный 8-20 фотопроводимость примесная 7-28

- собственная 7-28 фото-ЭДС 6-29 фотоэффект 6-29

- вентильный 6-29

- внешний 6-29

- внутренний 6-29

- ядерный 8-11

фундаментальные взаимодействия 8-19

функция Кирхгофа универсальная

6-27

Фурье разложение 5-10

X

хемилюминесценция 7-29 химический потенциал 7-18 холодильная машина 2-18, 2-21 хроматическая аберрация 6-5

ц

центр инерции 1-10

- качаний 5-6

- кристаллизации 2-30

- масс 1 -10 цепная реакция 8-17 цикл 2-17

- Карно 2-22

- обратный 2-18 цикл прямой 2-18 циркуляция 1-31

сублимация 2-30

сфера молекулярного действия 2-25 сцинтиллятор 8-13 счетчик газоразрядный 8-13

- ионизационный 8-13

- полупроводниковый 8-13

- сцинтилляционный 8-13

т

тело отсчета 1-4

- несвободное 1-8

- рабочее теплового двигателя

2-21

- свободное 1-8 температура 2-3

- критическая 2-24 -термодинамическая 2-3 температурный коэффициент

сопротивления 3-25 теорема Гаусса для магнитного поля в вакууме 4-12

------ электростатического поля в

вакууме 3-6 в диэлектрике 3-16

- Карно 2-21

- Лармора 4-22

- Нернста-Планка 2-20

- о циркуляции вектора

напряженности магнитного поля 4-25

------------- обобщенная 4-30

------ магнитного поля в вакууме 4-10

------ электрического поля в вакууме

3-7

- Стокса 1-31

- Штейнера 1-15 тепловое излучение 6-25 тепловой двигатель 2-18, 2-21 теплоемкость 2-13

- молярная 2-13

- при постоянном давлении 2-14 объеме 2-14

- твердых тел 2-29

- удельная 2-13 теплопроводность 2-10 термодинамическая шкала

температур 2-5 термодинамические параметры 2-2 термодинамический процесс 2-2 термодинамическое равновесие 2-3

термостат 2-21

термоядерные реакции синтеза 8-19

- циклы 8-19 тесла 4-7

течение жидкости 1-19

- стационарное 1-20

- установившееся 1-20 ток вихревой Фуко 4-16

- насыщения 3-32

- переменный 5-16

- постоянный 3-21

- смещения 4-29

- электрический 3-21 тороид 4-11

точка Кюри 3-17, 4-27

- Нееля 4-28 транзистор 7-31 трансформатор 4-19 траектория 1-4 триболюминесценция 7-29 тритий 8-2

тройная точка 2-31 трубка тока жидкости 1-19 туннельный эффект 7-11 турбулентное течение 1-21

У