Примеры решения задач. Колебания и волны

Задача. Шарик массой 100 г, подвешенный к невесомой пружине с жесткостью 10 Н/м, совершает гармонические колебания с амплитудой м. Считая колебания незатухающими и начальную фазу равной нулю, определить смещение шарика за время от начала колебаний, полную энергию колебательного движения шарика и его кинетическую энергию в момент прохождения положения равновесия, кинетическую и потенциальную энергию за время после начала колебаний.

Дано: m = 0,10 кг – масса шарика, k = 10 Н/м – жесткость пружины, - начальная фаза колебаний, с и - промежутки времени, прошедшие от начала колебаний, м – амплитуда колебаний.

Найти: - смещение шарика к моменту времени ; W – полную энергию колебательного движения; - кинетическую энергию в момент прохождения положения равновесия; Е _к2 ― кинетическую и Е _п2 ― потенциальную энергии колебательного движения шарика в момент времени t = T /6.

Решение. Смещение при гармонических колебаниях определятся по формуле

или

Так как по условию φ ₀ = 0, то

Период упругих гармонических колебаний определяется соотношением , где m ―масса колеблющегося тела.

Находим смещение x ₁ по формуле

Полную энергию колебательного движения определяем по формуле

E = kA ².

Так как в момент прохождения положения равновесия вся энергия колебательного движения переходит в кинетическую, то

.

Вычисляем полную энергию колебательного движения и равную ей максимальную кинетическую энергию колеблющейся материальной точки:

Кинетическую энергию шарика находим из формулы

где υ = υ ₀ cos φ ― мгновенное значение скорости, υ ₀―максимальная скорость, ―фаза колебаний.

По условию начальная фаза равна нулю, и, значит, .Так как ―полная энергия, то

.

Учитывая значение φ, получаем

Для потенциальной энергии в момент времени t ₂ имеем

где В данном случае

.

Потенциальную энергию можно найти и из закона сохранения энергии Подставляя числовые значения, определяем кинетическую и потенциальную энергии в момент времени t ₂:

Ответ: Смещение шарика от положения равновесия равно полная энергия колебательного движения равна в момент времени t ₂ кинетическая энергия шарика равна потенциальная энергия равна

Задача. В рамке содержащей 100 витков и равномерно вращающейся в однородном магнитном поле поток магнитной индукции изменяется по закону Ф = 2,0·10 cos 314 t. Определить: зависимость возникающей в рамке э.д.с. от времени; максимальное и действующее значение э.д.с. для t = 0,0050 c. Как изменится зависимость э.д.с. от времени при увеличении угловой скорости вращения рамки в два раза?

Дано: N = 100 - число витков в рамке; Ф = 2,0·10 cos 314 t зависимость магнитного потока в рамке времени, t = 0,0050 с - момент времени, для которого определяется мгновенное значение э.д.с.

Найти: e = f(t) -зависимость возникающая в рамке э.д.с. от времени; максимальное значение э.д.с.; ε – действующее значение э.д.с., е – мгновенное значение э.д.с. для t = 0,0050 с; зависимость э.д.с. от времени при увеличении угловой скорости рамки в два раза.

Решение. Мгновенное значение э.д.с. возникающей в каждом витке, равно первой производной от магнитного потока по времени, взятой со знаком минус, т.е. e = ;при N витках e = N .Так как , то

Находим зависимость мгновенного значения э.д.с. от времени

Максимальное значение э.д.с.

Действующее значение э.д.с.

Мгновенное значение э.д.с. найдем, подставив в уравнение соответствующее значение t. Вычислим мгновенную э.д.с. для t = 0,0050 c:

Из формулы видно, что при увеличении в два раза максимальное значение э.д.с. и циклическая частота изменения э.д.с. возрастают в два раза. Мгновенное значение э.д.с. определяется при этом по формуле

где - первоначальное значение угловой скорости вращения рамки. Находим зависимость при увеличении угловой скорости в два раза:

Ответ. Зависимость э.д.с., возникающей в рамке от времени определяется формулой , максимальное значение э.д.с. для t = 0,0050 с e = 62,8 В, эффективное значение э.д.с. , мгновенное значение э.д.с. для t = 0,0050 c

Задача. Колебательный контур состоит из конденсатора с емкостью 48 мкФ, катушки с индуктивностью 24 мГн и активным сопротивлением 20 Ом. Определить частоту свободных электромагнитных колебаний в этом контуре. На сколько измениться частота электромагнитных колебаний в контуре, если пренебречь активным сопротивлением катушки?

Дано: С =4,8·10^-5 Ф – емкость конденсатора, L =2,4·10^-2 Гн – индуктивность катушки, R =20 Ом – активное сопротивление катушки.

Найти: - частоту свободных электромагнитных колебаний в контуре, - изменение частоты колебаний в контуре, если его активное сопротивление будет равно нулю.

Решение. Частоту колебаний можно найти из соотношения

, где

Находим частоту :

=

Если сопротивление R равно нулю, то формула для периода колебаний примет вид

Отсюда найдем период колебаний при R =0 и частоту колебаний , а затем . Определяем частоту :

Вычисляем изменение частоты: .

Ответ. Частота свободных колебаний в контуре равна 132Гц, в идеальном случае, когда R =0, частота собственных колебаний в контуре на 16Гц больше.

Задача. Определить длину электромагнитной волны в вакууме, на которую настроен колебательный контур, если максимальный заряд конденсатора составляет , а максимальная сила тока в контуре равна 1,0А. Какова емкость конденсатора, если индуктивность контура равна ? Какова энергия электрического поля конденсатора в тот момент, когда энергия магнитного поля составляет ¾ от ее максимального значения? Определить напряжение на конденсаторе в этот момент. Активным сопротивлением контура пренебречь.

Дано: -максимальный заряд конденсатора, -максимальная сила тока, - индуктивность контура, -скорость распространения электромагнитных волн в вакууме.

Найти: - длину электромагнитной волны, на которую настроен колебательный контур, C – емкость конденсатора, - энергию электрического поля в тот момент, когда энергия магнитного составляет ¾ от ее максимального значения, U – напряжение на конденсаторе в тот же момент времени.

Решение. Длина волны определяется по формуле , где . Для нахождения периода колебаний используем закон сохранения и превращения энергии. При незатухающих колебаниях максимальная энергия магнитного поля равна максимальной энергии электрического поля и равна полной энергии электромагнитных колебаний в контуре, т.е.

; отсюда , .

Тогда . Находим длину электромагнитной волны:

.

Зная индуктивность контура, находим емкость конденсатора: .

Полная энергия электромагнитных колебаний в контуре равна сумме мгновенных значений энергии электрического и магнитного полей и, при отсутствии затухания колебаний, есть величина постоянная: , где

Следовательно, W_{маг. макс} =(3/4) W_{маг. макс} + W_эл; отсюда

.

Подставляя числовые значения, находим энергию электрического поля для данного момента времени:

W_эл =

Энергия электрического поля определяется по формуле W_эл =CU²/2. Получаем

откуда находим мгновенное значение напряжения U на конденсаторе:

Ответ. Длина электромагнитной волны равна 38 м, ёмкость конденсатора – 2,0·10^-9Ф, мгновенное значение энергии электрического поля составляет 2,5·10^-8Дж, мгновенное напряжение равно 5,0В.

Задача. Определите длину электромагнитной волны в вакууме, если её частота равна 4,5·10¹¹Гц. Чему равна скорость распространения и длина этой же волны в бензоле, если его диэлектрическая проницаемость составляет 2,28? При решении считать бензол практически прозрачным для электромагнитного излучения, а его магнитную проницаемость .

Дано: - частота волны, - диэлектрическая проницаемость бензола, - электрическая постоянная, - магнитная постоянная.

Найти: - длину электромагнитной волны в вакууме, - скорость распространения волны в бензоле, - длину этой же волны в бензоле.

Решение. Вычисляем скорость распространения электромагнитных волн в вакууме:

Определяем длину волны в вакууме:

Находим скорость распространения электромагнитной волны в бензоле и вычисляем :

Ответ. Длина электромагнитной волны в вакууме равна 0,67мм, скорость распространения волны в бензоле составляет 2·10⁸м/с, длина этой же волны в бензоле равна 0,44мм.