Краткие теоретические сведения. Согласно гипотезе де-Бройля поток любых материальных частиц (электро­нов, протонов, нейтронов, целых атомов и т.д.) обладает

Согласно гипотезе де-Бройля поток любых материальных частиц (электро­нов, протонов, нейтронов, целых атомов и т.д.) обладает, аналогично кванту света фотону, не только корпускулярными, но и волновыми свойствами. Таким образом, если частица имеет энергию E и импульс, абсолютное значение которого равно p, то с ней связана волна, частота которой

, (1)

а длина - , (2)

где h – постоянная Планка. Эти волны и получили название волн де Бройля. При этом волновой вектор этих волн определяется их импульсом:

(3)

где - импульс частицы;

ħ - приведенная постоянная Планка.

Экспериментально эта гипотеза была впервые подтверждена в опытах по дифракции электронов, проведенных Дэвиссоном, Джермером и Томсоном.

Длина волны де Бройля, вычисляемая в соответствии с формулами (2) и (3), есть:

(4)

где - волновое число частицы.

Физический смысл волны де Бройля заключается в том, что это не класси­ческая материальная волна, а волна вероятности. Т.е. это есть некая функция ψ(x,y,z,t), описывающая состояние частицы, квадрат модуля которой опреде­ляет вероятность нахождения частицы в различных точках пространства (x,y,z) и в различные моменты времени t.

Волна де Бройля для микрочастицы - это плоская волна вида

,

где - радиус-вектор, - амплитуда плоской волны.

Математически плоская волна представляет собой комплекснозначную функцию комплексной переменной, называемую волновой функцией.

Вместо соотношения (4) на практике для вычисления длины волны де Бройля у электронов часто используют выражение

(5)

где m * - эффективная масса электрона в твердом теле;

Е_кин- кинетическая энергия электронов.

Длина волны де Бройля - это мера пространственного объема, согласно которой квантово-механические свойства микрочастиц (т.е. вероятностный ха­рактер их поведения) становятся определяющими.

Иными словами, длина волны де Бройля - это условная граница для оценки перехода из макромира в наномир. В наномире микрочастицы теряют привычные для макрочастиц свойства:

—микрочастицы движутся не по траекториям (механика Ньютона для
них отменяется);

—невозможно одновременно определить местоположение и скорость
микрочастицы (принцип Гейзенберга);

невозможно достоверно точно сказать, в какой точке пространства
находится микрочастица, а можно говорить лишь о вероятности на­
хождения микрочастицы в данной точке пространства, которая про­порциональна квадрату модуля волновой функции микрочастицы и т.д.

Математически волновая функция микрочастицы есть решение уравнения Шредингера.

В случае одномерной области движения, при условии отсутствия времен­ных изменений в поведении микрочастицы, ее стационарное (амплитудное) уравнение Шредингера имеет вид

(6)

где ψ(х) – волновая функция в точке х;

Е – полная энергия микрочастицы,

a U(x) - потенциальное энергетическое поле, в котором движется микро­частица.

Для свободной микрочастицы, на которую не действуют внешние силы, т.е. U(x)=0, ее полная энергия равна кинетической:

(7)

Для микрочастицы, движущейся в поле действия постоянного потенциала Uо функция U(x)=U₀.

В этом случае уравнение (6) может быть записано как

, (8)

где k - волновое число микрочастицы, рассчитываемое как

(9)

Одним из характерных примеров квантово-механического характера дви­жения микрочастицы есть туннельный эффект. Туннельный эффект - это воз­можность для микрочастицы, например для электрона, пройти (протуннелировать) через потенциальный барьер в том случае, когда высота барьера выше полной энергии микрочастицы.

В классической механике Ньютона электрон, встречающий потенциальный барьер, (например, в p-n переходе), не преодолеет его, если энергия электрона меньше высоты потенциального барьера.

Давайте рассмотрим поведение электрона, проявляющего волновые свойства на примере его взаимодействия с потенциальным барьером.

Одномерный потенциальный барьер ступенчатого типа задается потенци­альным полем, распределение энергии в котором описывается функцией

(10)

В точке х=0 потенциальное поле имеет разрыв: величина потенциала скач­кообразно изменяется от 0 до U_q. Значение U_o называется высотой потенци­ального барьера и обычно задается в эВ. Электрон, обладающей энергией Е, находится в области х<0 и, двигаясь слева направо, «налетает» на потенциаль­ный барьер.

В области х<0 электрон является свободной микрочастицей с волновым числом k₁ (в формуле (9) надо принять, что Uo=0) и поэтому его волновая функция, согласно волновому уравнению Шредингера (8), есть суперпозиция падающей на барьер и отраженной от барьера волн

(11)

где А₁ и В₁- амплитуды падающей и отраженной волн cоответственно. Сама волновая функция физического смысла не имеет. Имеет смысл квадрат модуля волновой функции, описывающий плотность вероятности местонахождения электрона в точке х (для х<0)

(12)

где - функция, комплексно-сопряженная с .

В области х>0 электрон может двигаться только слева направо (больше на его пути нет отражающих препятствий) в поле постоянного потенциала Uo- Его волновое число k₂ вычисляется по формуле (9), а волновая функция имеет вид

, (13)

где А₂ - амплитуда прошедшей волны.

Значения В₁ и А₂ определяют из условия «склейки»: волновые функции и их производные в первой и второй областях должны быть равны в точке х=0.

(14) (15)

При этом возникает две ситуации: первая, случай низко­го барьера (энергия падающего электрона больше высоты барьера) и вторая, когда наоборот энергия Е< U₀ (случай высокого барьера).

С точки зрения макромеханики Ньютона в случае низкого барьера элек­трон просто пролетит над ним, совсем не «почувствовав» его, а в случае высо­кого барьера полностью отразится от него как мячик от стенки.

Реальное поведение электрона как волны будет значительно слож­нее. В случае низкого барьера электрон может преодолеть барьер и отразиться от него, что невоз­можно в классической механике, а в случае высокого барьера сможет не только отразиться, но и проник­нуть через его границу, что также невоз­можно в рамках макромеханики.

Для количественной оценки рассмотренных выше явлений вводятся два коэффициента: отражения и прозрачности барьера. Коэффициент отражения R соответствует вероятности отражения потока электронов от барьера и чис­ленно равен отношению потока отраженных частиц к потоку падающих:

(16)

Коэффициент прозрачности барьера соответствует вероятности обнару­жить электрон за границей барьера (точка х=0) и численно равен отношению потока проходящих частиц к потоку падающих:

(17)

Очевидно, что наосновании закона сохранения числа частиц между вве­денными коэффициентами существует простое вероятностное соотношение

(18)

В случае низкого барьера по классической механике должно иметь место R=0 и D=l, т.е. барьер совершенно прозрачен. В квантовой механике R>0 и D< 1 и электроны частично отражаются от барьера.

Для случая низкого барьера, используя условия «склейки» для волновых

функций ψ₁(х) и ψ₂(x) на границе барьера в точке х=0 (т.е. непрерывность функций и их производных), можно найти коэффициенты R и D через волновые числа k₁ и k₂:

(19)

В случае высокого барьера волновое числоk ₂ становится мнимой величи­ной ^

(20)

Появляется комплексность коэффициента R:

, тогда D=0, что должно обозначать полное отражение электронов от барьера. На самом деле все сложнее: неравенство 0 Ψ₂ означает, что электрон проникает за барьер, а затем возвращается назад.

Математически в случае высокого барьера экспоненциальная составляющая волновой функции в области х>0 пе­рестает быть комплекснозначной, а становится действительной и отличной от нуля

(21)

Тогда вероятность найти электрон за границей барьера равна

(22)

Хотя эта вероятность резко убывает по экспоненте от границы потенци­ального барьера, тем не менее, в области х>0 она так же отлична от нуля. А это и означает вероятностное присутствие электрона в области за границей барьера.

Рекомендуемая литература:

Основная

Драгунов В.П, Неизвестный И.Г.,Тридчин В.П. Основы накоэлектроники. -// Новосибирск, из-во НГТУ, 2004, стр. 14-21;

Кравченко А.Ф., Овсюк В.Н. Электронные процессы в твердотельных сис­темах пониженной размерности.-// Новосибирск, из-во НГУ, 2000, стр.202-209;

Епифанов Г.И. Физические основы микроэлектроники. - //М., Сов. радио, 1971,стр.12-41;

Соболев В.Д. Физические основы электронной техники. - //М, Высшая школа. 1979, стр. 14-28;

Новиков В.В. Теоретические основы микроэлектроники. - //М, Высшая школа, 1972; стр. 106-111;

Конспект лекций.

Дополнительная литература

Делоне Н.Б. Туннельный эффект.-// Соросовский образовательный жур­нал, том 6, №1, 2000, стр.79-84;

Росадо Л. Физическая электроника и микроэлектроника.- // М., Высшая школа 1991, стр. 30-34,45-48;

Вихман Э. Квантовая физика.-//М., Наука, 1974, стр. 279-291;

Иродов И.Е. Задачи по квантовой физике. - // М., Высшая школа, 1991, стр. 21-35, 122-125;

Линч П., Николайдес А. Задачи по физической электронике (с решениями и комментариями). -// М._э Мир 1975, стр. 73-75;

Нанавати Р.Н. Введение в полупроводниковую электронику.-// М., Связь, 1965, стр 39-54;

4. Задание к выполняемой работе:

4. 1 В соответствии с таблицей 2 и указаниями преподавателя вы­ б рать вариант исходных данных для работы.

Таблица 2 – Варианты исходных данных

4.2

— Дать оценку размера области, в которой будут проявлять волновые свойства пылинка массой 0,001г и энергией, равной тепловому потенциалу и электрон с такой же энергией, движущиеся в вакууме; сделать соответствующие выводы о возможности наблюдения квантово-размерных эффектов для пылинки и электрона;

Согласно заданию, считая, что электрон движется в кристалле полупроводника вдоль пространственной оси х по ее на­правлению как свободная частица с энергией Е, определить:

—длину волны де Бройля;

—волновое число;

—импульс электрона.

Затем необходимо:

—записать соответствующее варианту стационарное уравнение Шредингера;

—выписать уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси х;

— вычислить вероятности нахождения электрона в точках про­странственной оси с координатами х=0 и х=1, приняв интенсивность падающей волны за 1 и построить общий график вероятности нахождения электрона вдоль оси х.

4.3 Рассмотреть задачу о прохождении электрона как волны через по­тенциальный барьер в следующей формулировке:

Электрон, имеющий полную энергию Е, движется вдоль некоторой про­странственной оси х по кристаллу полупроводника. В области х<0 электрон полностью свободен, т.е. не ис­пытывает никакого влияния со стороны возмущающего его движения потен­циала. В точке х=0 электрон попадает в область действия энергетического по­тенциала U₀ (встречает на своем пути потенциальный барьер бесконечной ши­рины).

Используя соотношения (18) и (19) необходимо для своего варианта вычислить коэффициенты отражения и прохождения и также по­строить общие графики зависимости коэффициентов при условии, что изменяется от нуля до 10. На графиках не­обходимо указать значения R и D, соответствующие заданному варианту, а также слу­чаю, когда высота барьера равна энергии микрочастицы, кроме того, указать диапа­зоны изменения , описывающие случаи высокого и низкого барьеров. Срав­нить полученные результаты с данными классической механики и сделать вы­воды о различиях и совпадениях величин R и D для классической и квантовой механик.

4.4 Для случая с низким барьером (Е> U_o) для своего варианта необходимо:

—построить одномерную энергетическую диаграмму потенциального барь­ера;

—записать амплитудные уравнения Шредингера для областей х>0 и х<0 в явном числовом виде и найти его решения в данных областях, используя условие «склейки» волновых функций в точке х=0, приняв при этом ам­плитуду падающей волны за единицу;

—вычислить квадраты модуля найденных волновых функций для областей х<0 и х>0 и построить на их основе график плотности вероятности ме­стонахождения электрона вдоль оси х;

4.5 Для случая с высоким барьером (Е< U_o) для своего варианта необходимо:

—поменять значения величин E u U₀ местами;

—построить одномерную энергетическую диаграмму потенциального барь­ера;

—записать амплитудные уравнения Шредингера для случаев х>0 и х<0 в явном числовом виде и найти его решения в данных областях;

—указать, в какой области пространства волновая функция будет суперпозицией плоских волн, а в какой - нет?

— вычислить квадраты модуля найденных волновых функций и построить график плотности вероятности местонахождения электрона вдоль оси х;

— вычислить вероятность нахождения электрона за барьером (вероятность туннелирования) в точках х = 0, х = х_d = 1/k₀; отметить указанные точки на графике и пояснить физический смысл величины x_d

— приняв, что высота барьера бесконечна, найти волновые функции слева и
справа от барьера и построить график плотности вероятности местонахо­ждения электрона вдоль оси х для данного случая.

5 Содержание отчета

Отчет должен содержать:

5.1 оценку размера области, в которой будут проявлять волновые свойства пылинка и электрон с движущиеся в вакууме согласно п. 4.2;

5.2 квантово-механические характеристики электрона в соответствии с пунк­том 4.2.

5.3 результаты анализа коэффициентов отражения и прохождения в задаче о взаимодействии электрона с потенциальным барьером и выводы к анали­зу в соответствии с условиями, описанными в пункте 4.3;

5.4 для случая низкого барьера (пункт 4.4) привести график энергетической диаграммы, одномерное стационарное уравнение Шредингера для двух областей х>0 и х<0, соотношения для условия «склейки», волновую функцию и квадрат ее модуля, график плотности вероятности местона­хождения электрона вдоль всей оси х, и выводы к полученным результатам;

5.5 для случая высокого барьера (пункт 4.5) привести график энергетиче­ской диаграммы, одномерное стационарное уравнение Шредингера для двух областей х>0 и х<0, соотношения для условия «склейки», волновую функцию и квадрат ее модуля, график вероятности распределения элек­трона вдоль всей оси х, вероятности туннелирования в точках х=0, х = х_d = 1/k₀

Тип	Обозначение	Величина	Размерность
Постоянная Планка   приведенная	h h ћ=h/2π	6,625*10-34 4,5*10-15 1,055*10-34	Дж*с эВ*с Дж*с
Масса покоя электрона	me	9,31*10-31	кг
Заряд электрона	q	1,60218*10-19 для СИ 1 (если[Е]=эВ)	Кл шт. (безразмерная)
Постоянная Больцмана	kB	1,38086*10-23 8,62*10-5	Дж/К эВ/К
Электронвольт	1 эВ	1,60218*10-19	Дж
Произведение при температуре Т=300 К	kBT	0,0259	эВ
Тепловой потенциал При Т=300 К (270С) При Т=292 К (200С)		0,02586 0,02525	В В
Ангстрем	1 Ǻ	0,1 10-4 10-8 10-10	нм мкм см м
Нанометр	1 нм	10-9	м
Выражение		1,504	эВ*нм2