Дифференциальное уравнение электромагнитной волны

Как уже указывалось (см. §161), одним из важнейших следствий уравнений Мак­свелла (см. § 139) является существова­ние электромагнитных волн. Можно по­казать, что для однородной и изотропной среды вдали от зарядов и токов, создаю­щих электромагнитное поле, из уравнений Максвелла следует, что векторы напряженностей Е и Н переменного электро­магнитного поля удовлетворяют волново­му уравнению типа (154.9):

— оператор Лапласа, v — фазовая ско­рость.

Всякая функция, удовлетворяющая уравнениям (162.1) и (162.2), описывает некоторую волну. Следовательно, электро­магнитные поля действительно могут су­ществовать в виде электромагнитных волн. Фазовая скорость электромагнитных волн определяется выражением

где с= 1/Öe₀m₀, e₀ и m₀ — соответственно

электрическая и магнитная постоянные, e и m — соответственно электрическая и магнитная проницаемости среды.

В вакууме (при e=1 и m=1) скорость распространения электромагнитных волн совпадает со скоростью с. Так как em> 1, то скорость распространения электро­магнитных волн в веществе всегда мень­ше, чем в вакууме.

При вычислении скорости распростра­нения электромагнитного поля по формуле (162.3) получается результат, достаточно хорошо совпадающий с эксперименталь­ными данными, если учитывать зависи­мость e и m, от частоты. Совпадение же размерного коэффициента в (162.3) со

скоростью распространения света в вакуу­ме указывает на глубокую связь между электромагнитными и оптическими явле­ниями, позволившую Максвеллу создать электромагнитную теорию света, согласно которой свет представляет собой электро­магнитные волны.

Следствием теории Максвелла являет­ся поперечность электромагнитных волн: векторы Е и Н напряженностей электриче­ского и магнитного полей волны взаимно перпендикулярны (на рис. 227 показана моментальная «фотография» плоской электромагнитной волны) и лежат в плос­кости, перпендикулярной вектору v скоро­сти распространения волны, причем векто­ры Е, Н и v образуют правовинтовую систему. Из уравнений Максвелла следует также, что в электромагнитной волне век­торы Е и Н всегда колеблются в одина­ковых фазах (см. рис. 227), причем мгно­венные значения £ и Я в любой точке связаны соотношением

Öe₀e=Öm₀m Н. (162.4)

Следовательно, E и H одновременно достигают максимума, одновременно об­ращаются в нуль и т. д.

От волновых уравнений (162.1) и (162.2) можно перейти к уравнениям

где соответственно индексы у и z при Е н Н подчеркивают лишь то, что векторы

Е и Н направлены вдоль взаимно перпен­дикулярных осей у и z.

Уравнениям (162.5) и (162.6) удов­летворяют, в частности, плоские монохро­матические электромагнитные волны (электромагнитные волны одной строго определенной частоты), описываемые уравнениями

Е_у=Е ₀cos(wt-kx+j), (162.7)

H_z= H₀cos (wt-kx+j), (162.8)

где е ₀ и Н ₀ — соответственно амплитуды напряженностей электрического и магнит­ного полей волны, w — круговая частота волны, k=w/v— волновое число, j— начальные фазы колебаний в точках с ко­ординатой х= 0. В уравнениях (162.7) и (162.8) j одинаково, так как колебания электрического и магнитного векторов в электромагнитной волне происходят с одинаковой фазой.