Основные расчетные формулы

Расчетно-графическое задание

По дисциплине: Физика

(наименование учебной дисциплины согласно учебному плану)

Тема: «дифракция френеля на прямолинейном крае экрана. спираль корню»

Выполнил: студент гр. ГC-11-2 / Андреев В.Н. /

^{(подпись)}

Проверил: доцент ____________ / Фицак В.В./

^{(должность) (подпись) (Ф.И.О.)}

Санкт-Петербург

Краткое теоретическое содержание.

Дифракция – любое отклонение распространения света от прямолинейного, не связанное

с отражением или преломлением.

В более узком смысле дифракцией называют явление огибания волной препятствия (или проникновение света в область геометрической тени). В теории волн под дифракцией понимают всю совокупность явлений в волновом поле, возникающих при наличии препятствий распространению волны. Используя понятие интерференции света, можно сказать, что дифракция – это интерференция в ограниченных световых пучках.

В основе явления дифракции света лежит Принцип Гюйгенса – Френеля:

каждая точка фронта распространяющейся волны является источником вторичных когерентных волн. Результат интерференции вторичных элементарных волн зависит от направления: интенсивность вторичных волн максимальна в направлении нормали к фронту волны и уменьшается с увеличением угла между этой нормалью и направлением, в котором рассматривается действие вторичной волны. Для величина обращается в нуль, т.е. отсутствует обратная волна, распространяющаяся от вторичных источников к источнику света. Предполагается, что фаза результирующей вторичных волн в точке наблюдения совпадает с фазой действительно распространяющейся волны.

Расчет интерференции вторичных волн наиболее просто проводится разбиением фронта первичной волны на участки (зоны). Разбиение проводится так, что расстояния от смежных участков фронта волны (зон Френеля) до точки наблюдения и оптические разности хода вторичных волн, испускаемых соседними зонами, различаются на , так что эти волны ослабляют друг друга.

В рамках электромагнитной теории света точное решение задачи о распространении света дается на основе уравнений Максвелла с соответствующими граничными условиями, но сопряжено с большими математическими трудностями. В большинстве случаев, представляющих практический интерес, вполне достаточным оказывается приближенный метод решения задач дифракции, основанный на принципе Гюйгенса –Френеля.

В общем виде задача дифракции считается с помощью дифракционного интеграла Френеля:

Суммирование (интегрирование) амплитуд элементарных колебаний, приходящих в определенную точку, вообще говоря, весьма сложно. Но в простейших случаях, обладающих определенной симметрией, интегрирование, как показал Френель, может быть заменено простым алгебраическим или графическим сложением (последнее особенно наглядно).

Амплитуду волны в точке наблюдения можно рассчитывать графическим методом. В этом методе каждая зона разбивается на бесконечно малые участки, в каждом из которых фазу вторичных волн считают приблизительно постоянной. Колебания в точке наблюдения от каждого участка представляются векторами, и строится векторная диаграмма их сложения. Результирующая диаграмма является полуокружностью. Результирующая амплитуда вторичной волны от зоны равна диаметру этой полуокружности. Амплитуда результирующей вторичной волны каждой зоны пропорциональна площади зоны и углу между нормалью к ней прямой, соединяющей источник света с точкой наблюдения. Последовательный учет амплитуд от всех зон, когда зоны равновелики по площади, дает векторную диаграмму в виде суживающейся спирали.

Для того, чтобы оценить относительный вклад френелевских зон в интеграл, оценим радиусы зон и их площади.

На рисунке показаны точечный источник света S, точка наблюдения поля P, часть сферической поверхности ξ (источника вторичных волн) и внешняя граница первой зоны Френеля. Пусть a – радиус сферы, b –кратчайшее расстояние от точки P до сферы, r -радиус первой световой зоны Френеля.

Откуда запишем:

Как правило, в оптике справедливо приближение: , поэтому пренебрегая слагаемыми, которые пропорциональны получим:

Откуда:

Аналогичным образом находим внешний радиус -й зоны Френеля:

То есть они практически одинаковы. Но амплитуды колебаний, приходящих в точку P от зон, монотонно и слабо убывают из-за увеличения расстояния r до точки P от каждой следующей зоны и роста угла θ между нормалью к элементам зоны и направлением на точку P. Физическое содержание задачи почти не изменится, а формулы станут проще, если вместо сферической волны точечного источника рассмотреть плоскую световую волну. В данном случае зоны Френеля представляют собой кольца на плоскости. Их радиусы можно подсчитать по предыдущим формулам, полагая a → ∞. Получим:

Учтём, что решаемая задача дифракции является двумерной ввиду её симметрии. В этом случае распределение интенсивности одинаково в любой плоскости перпендикулярной полуплоскости. Тогда кольцевые зоны Френеля 'вырождаются' в зоны Френеля в виде полос (отрезков) , расположенных справа от точки и , расположенных слева от точки . «Полосатые» зоны Френеля получили название зон Шустера. Очевидно, размер зон Шустера определяется следами пересечения кольцевых зон Френеля плоскостью, перпендикулярной волновому фронту волны и содержащей точку наблюдения . Поэтому

,

Амплитуда волны , от m-й зоны Шустера определяется, пренебрегая зависимостью убывания амплитуды волн от расстояния, пройденного до точки в основном её размером, определяемым по формуле:

Для больших значений следует, что

Для расчёта дифракции волн на полуплоскости используется, как и выше, спираль Корню, с помощью которой можно найти амплитуду волны и фазу волны для произвольного числа открытых или закрытых полуплоскостью зон Шустера. Характерной особенностью этой кривой является наличие двух фокусов, на которые 'наматываются' витки спирали.

Из полученной формулы:

следуют результаты:

1) расстояние растет медленно при переходе от зоны к зоне.

2) угол между нормалью и направлением на точку наблюдения растет.

Отсюда важный вывод: амплитуда , возбуждаемая в точке Р от m -ой зоны, монотонно убывает с ростом m. Это верно даже для зон с большим номером m, т.к. несмотря на то, что площадь растет, но при этом растет угол a тоже. Таким образом, можно записать

следующее неравенство для вклада от зон в результирующую амплитуду:

Соседние зоны дают колебания в противофазе, поэтому полное колебание в точке Р от всех зон с учетом фаз (если открыт весь фронт волны) равно:

Так как убывание амплитуд монотонное, то имеем:

и в среднем выражение в скобках равно 0, тогда полностью

открытый фронт дает в точке наблюдения амплитуду:

Интенсивность — скалярная физическая величина, количественно характеризующая мощность, переносимую волной в направлении распространения. Численно интенсивность равна усреднённой за период колебаний волны мощности излучения, проходящей через единичную площадку, расположенную перпендикулярно направлению распространения энергии.

Поскольку интенсивность , следовательно, интенсивность полностью открытого фронта волны может быть записана через амплитуду от первой зоны:

Таким образом, одна первая зона Френеля создает интенсивность в 4 раза большую, чем полностью открытый фронт:

С помощью спирали Корню легко получить распределение интенсивности вблизи края геометрической тени при дифракции плоской волны на прямолинейном крае экрана. Интенсивность в точке наблюдения, находящейся на границе геометрической тени в четыре раза меньше интенсивности I₀ в отсутствие экрана. При перемещении точки наблюдения P в освещенную область интенсивность будет последовательно проходить через максимумы и минимумы. В наибольшем из максимумов , а в первом минимуме . С увеличением расстояния от края геометрической тени размах колебаний интенсивности относительно значения уменьшается, а положения максимумов и минимумов постепенно сближаются друг с другом.

Основные расчетные формулы.

1) Радиус m-й зоны Френеля:

– радиус m-й зоны Френеля.

- порядок интерференции

- длина волны

- расстояние от экрана до точки наблюдения.

2) Размер кольцевых зон Френеля:

– размер правой кольцевой зоны Френеля в зависимости от порядка интерференции

- размер левой кольцевой зоны Френеля в зависимости от порядка интерференции

- размер первой кольцевой зоны Френеля.

3) Интенсивность световой волны.

- интенсивность световой волны.

– амплитуда световой волны.

Так как при использовании графического метода применяем формулу , в которой интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды, но единицы измерения требуется выразить в системе «СИ», то используем единицу измерения .