Розв’язування систем трьох лінійних рівнянь за формулами Крамера. Однорідні системи

Нехай задана система

з якої необхідно знайти при відомих інших елементах.

Складемо визначник системи із коефіцієнтів при невідомих

Домножимо почленно кожне з рівнянь відповідно на - алгебраїчні доповнення елементів першого стовпця (коефіцієнтів при х) і додамо всі три рівності. Отримаємо:

За теоремою про розклад коефіцієнт при х дорівнює . Коефіцієнти при будуть рівними нулю за теоремою анулювання. Права частина рівності за теоремою про заміщення дає новий визначник, який називають допоміжним і позначають

Після цього остання рівність запишеться

(2)

Для знаходження домножимо кожне з рівнянь початкової системи в першому випадку відповідно на в другому - на і додамо. В наслідок перетворень отримаємо:

де

Якщо , то в результаті отримуємо формули Крамера:

Окремим випадком системи (1) є однорідна система

(3)

Серед розв’язків однорідної системи можуть бути як нульові розв’язки , так і розв’язки відмінні від нуля.

Теорема 1. Якщо визначник однорідної системи (3) відмінний від нуля (), то така система має тільки нульовий розв’язок.

Дійсно, за властивістю 4 в 1.3. допоміжні визначники , як такі, що містять нульовий стовпець, тому за формулами Крамера .

Теорема 2. Якщо однорідна система має відмінний від нуля розв’язок, то її визначник необхідно дорівнює нулю .

Дійсно, нехай одне з невідомих, наприклад х, відмінне від нуля. Згідно з однорідністю . Рівність (2) запишеться . Звідки випливає, що .