Тема 2. Пересечение поверхностей

По теме 4 следует решить две задачи на построение линий пересечения поверхностей.

К моменту выполнения задания должны быть проработаны все темы рабочей программы. Одна из задач темы 2 решается способом вспомогательных секущих плоскостей уровня, другая задача - способом сфер.

Форма и размеры геометрических тел для первой задачи выбираются по рис. 7 или 8 и табл. 6, а для второй задачи - по рис. 9 или 10 и табл. 7 в соответствии с номером варианта. Обе задачи решаются на одном листе форма А3. Размеры тел на чертежах не приводятся.

Построение линии пересечения заданных тел следует начинать с построения опорных точек искомой кривой. Такими точками являются:

1) точки, проекции которых лежат на проекциях контурных образующих (очерках) заданных тел;

2) «крайние» точки - правые и левые, наивысшие и наинизшие, ближайшие и наиболее удаленные.

Все построенные проекции точек, принадлежащих линии пересечения, должны иметь на чертеже соответствующие обозначения.

Все линии построения опорных и промежуточных точек на чертеже необходимо сохранять и выполнять сплошными тонкими линиями.

Таблица 6.

Продолжение таблицы 6

Продолжение таблицы 6

Продолжение таблицы 6

Продолжение таблицы 6

Продолжение таблицы 6

Продолжение таблицы 6

Продолжение таблицы 6

Таблица 7.

Продолжение таблицы 7

Продолжение таблицы 7

Продолжение таблицы 7

Продолжение таблицы 7

Продолжение таблицы 7

Продолжение таблицы 7

Продолжение таблицы 7

Nbsp; Рис. 9

Рис. 10

Рассмотрим примеры решения задач, предложенных по теме 2.

Пример 1.

Построить линию пересечения поверхностей двух геометрических тел - конуса и сферы - способом вспомогательных секущих плоскостей уровня (см. рис. 11).

Рис. 11

При решении задач данным способом необходимо удачно выбрать секущие плоскости. Вспомогательные секущие плоскости следует выбирать с таким расчетом, чтобы они рассекали заданные тела по наиболее простым линиям с точки зрения графических построений (прямым или окружностям). В данной задаче использованы горизонтальные плоскости.

Построение линии пересечения следует начинать с нахождения опорных точек. Точка А (А₁, А₂) является наивысшей точкой линии пересечения, точка В(В₁,В₂) – наинизшей точкой линии пересечения. Обе эти точки могут быть найдены с помощью фронтальной плоскости Ω (Ω₁) в пересечении фронтальных очерков обеих поверхностей.

Точки С (С₁, С₂) и С¹(С₁¹, С₂¹) определяются с помощью горизонтальной плоскости Σ (Σ₂) и являются точками границы видимости линии пересечения на горизонтальной плоскости проекций. Плоскость Σ (Σ₂) рассекает обе поверхности по окружностям: поверхность конуса по окружности диаметра 1-1¹ (1₁ - 1₁¹, 1₂ – 1₂¹), а поверхность сферы по окружности диаметра 4 – 4¹ (4₁ – 4₁¹, 4₂ – 4₂¹). В пересечении этих окружностей и получается точки С (С₁, С₂) и С¹ (С₁¹, С₂¹). Сначала находятся их горизонтальные проекции С₁ и С₁¹, а затем по линиям связи и фронтальные С₂ и С₂¹.

Промежуточные точки D (D₁,D₂), D¹ (D₁¹,D₂¹), и Е (Е₁,Е₂). Е¹ (Е₁¹,Е₂¹) находятся с помощью горизонтальных плоскостей Θ (Θ₂) и Ψ (Ψ₂), которые также рассекают обе поверхности по окружностям. При пересечении соответствующих окружностей получаем точки D (D₁,D₂), D¹ (D₁¹,D₂¹), Е (Е₁,Е₂), Е¹ (Е₁¹,Е₂¹).

Полученные точки A, B, C, D, E принадлежат линии пересечения. Они последовательно соединяются между собой на горизонтальной и фронтальной проекциях тел с учетом видимости.

Пример 2.

Построить линию пересечения поверхностей двух геометрических тел - усеченного конуса и цилиндра - способом концентрических сфер (см. рис. 12).

Этот способ может быть использован лишь при наличии следующих трех условий:

1) пересекающиеся поверхности - поверхности вращения;

2) их оси пересекаются;

3) поверхности имеют общую плоскость симметрии, параллельную одной из плоскостей проекций.

Рассматриваемая задача удовлетворяет всем вышеизложенным условиям.

При решении этой задачи первоначально строится фронтальная проекция линии пересечения, а затем горизонтальная, так как общая плоскость симметрии обеих поверхностей параллельна фронтальной плоскости проекций.

Построение линии пересечения поверхностей следует начинать с нахождения опорных точек.

Точка А (А₁, А₂) является высшей точкой линии пересечения, точка В (В₁,В₂) - наинизшей точкой линии пересечения. Эти точки могут быть найдены с помощью фронтальной плоскости Ω (Ω₁), которая и является общей плоскостью симметрии. Первоначально определяются фронтальные проекции этих точек А₂ и В₂ в пересечении фронтальных очерков обеих поверхностей, а затем по линиям связи и их горизонтальные проекции А₁ и В₁. Промежуточные точки, принадлежащие линии пересечения, находятся с помощью вспомогательных секущих сфер. Центр этих сфер располагается в точке О (О₁, О₂).

Проводится сфера (см. рис. 12) минимального радиуса О-1, его фронтальная проекция О₂-1₂, так чтобы она касалась одной из поверхностей - поверхности конуса (в данном случае) и пересекала бы другую поверхность - поверхность цилиндра.

Эта сфера, будучи соосной с поверхностями конуса и цилиндра, пересекает их по окружностям: конус рассекается по окружности диаметра 1-1¹ (1₁-1₁¹, 1₂-1₂¹), а цилиндр - по окружности диаметра 6-6¹ (6₁-6₁¹, 6₂-6₂¹). В пересечении этих окружностей получаются точки С(С₁ , С₂), С¹(С₁¹, С₂¹) принадлежащие линии пересечения. Сначала находятся их фронтальные проекции С₂¹ и С₂, а затем с помощью линии связи и горизонтальной плоскости Ψ (Ψ₂), заключающей в себе окружность диаметром 1-1¹ (1₁-1₁¹, 1₂-1₂¹), находятся горизонтальные проекции С₁ и С₁¹ точек С, С¹. Аналогично находятся точки D (D₁,D₂) и D¹ (D₁¹,D₂¹) с использованием следующей сферы.

Эта сфера рассекает конус по окружности диаметра 2-2¹ (2₁-2₁¹, 2₂-2₂¹), а цилиндр - по окружности диаметра 5-5¹ (5₁-5₁¹, 5₂-5₂¹). В пересечение этих окружностей и получаются точки D и D¹. Промежуточные точки Е и Е¹ находятся подобным же образом с помощью третьей сферы.

Точки М и М¹ являются также опорными, так как принадлежат горизонтальному очерку цилиндра. Порядок их нахождения ясен из рис. 12.

Найденные точки последовательно соединяются между собой плавной линией на фронтальной и горизонтальной проекциях тел с учетом их видимости.

Рис. 12

Приложение

Таблица 8.