Башня Гоголя

Задача. Что увеличивается быстрее: высота поднятия или дальность горизонта?
Многие думают, что с возвышением наблюдателя горизонт возрастает необычайно быстро. Так думал и Н.В. Гоголь, писавший в статье «Об архитектуре нашего времени» следующее:
«Башни огромные, колоссальные, необходимы в городе…У нас обыкновенно ограничиваются высотой, дающей возможность оглядеть один только город, между тем как для столицы необходимо видеть, по крайне мере на полтораста вёрст во все стороны, и для этого, может быть, один только или два этажа лишних, – и всё изменяется. Объём кругозора по мере возвышения распространяется необыкновенною прогрессией» (1 верста составляет 1,0668 км, 150 верст – 160 км)

Так ли в действительности?

Решение:

Рассмотрим формулу: ,

где l – дальность горизонта, R – радиус земного шара (» 6400 км), h – возвышение глаза наблюдателя над земной поверхностью.

Из формулы видно, что дальность горизонта растёт медленнее, чем высота поднятия: она пропорциональна квадратному корню из высоты. Когда возвышение наблюдателя увеличивается в 100 раз, горизонт отодвигается всего только в 10 раз дальше.

Поэтому ошибочно утверждать, что «один только или два этажа лишних, – и всё изменяется».
Что же касается идеи сооружения башни, с которой можно было бы видеть, «по крайне мере, на полтораста вёрст», т.е. на 160 км, то она совершенно несбыточна. Н.В.Гоголь, конечно, не подозревал, что такая башня должна иметь огромную высоту, равную 2 км.

Это высота большой горы.