Пример 2

Продукцией городского молочного завода являются молоко, кефир и сметана, расфасованные в бутылки. На производство 1 т молока, кефира и сметаны требуется соответственно 1010, 1010 и 9450 кг молока. При этом затраты рабочего времени при разливе 1 т молока и кефира составляют 0,18 и 0,19 машино-часов. На расфасовке 1 т сметаны заняты специальные автоматы в течение 3,25 часов. Всего для производства цельномолочной продукции завод может использовать 136000 кг молока. Основное оборудование может быть занято в течение 21,4 машино-часов, а автоматы по расфасовке сметаны – в течение 16,25 часов. Прибыль от реализации 1 т молока, кефира и сметаны соответственно равна 30, 22 и 136 руб. Завод должен ежедневно производить не менее 100 т молока, расфасованного в бутылки. На производство другой продукции не имеется никаких ограничений.

Требуется определить, какую продукцию и в каком количестве следует ежедневно изготовлять заводу, чтобы прибыль от ее реализации была максимальной. Составить математическую модель задачи.

Решение. Предположим, что молочный завод будет ежедневно производить x₁ тонн молока, тонн кефира и тонн сметаны. Тогда ему для изготовления этой продукции необходимо кг молока.

Так как завод может использовать ежедневно не более 136000 кг молока, то должно выполняться неравенство

Аналогичные рассуждения, проведенные относительно возможного использования линий разлива цельномолочной продукции и автоматов по расфасовке сметаны, позволяют записать следующие неравенства:

Так как ежедневно должно вырабатываться не менее 100 т молока, то . Далее, по своему экономическому смыслу переменные и могут принимать только лишь неотрицательные значения: Общая прибыль от реализации x₁ тонн молока, тонн кефира и тонн сметаны равна руб. Таким образом, приходим к следующей математической задаче. Дана система

(4)

четырех линейных неравенств с тремя неизвестными x₁, , и линейная функция относительно этих же переменных

(5)

требуется среди всех неотрицательных решений системы неравенств (4) найти такое, при котором функция (5) принимает максимальное значение. Так как система (4) представляет собой совокупность линейных неравенств и функция (5) линейная, то исходная задача является задачей линейного программирования.