Метод интегрирования по частям.

Когда под интегралом стоит достаточно сложная функция, его решение может упроститься, если применить метод интегрирования по частям.

Пусть u = u (x) и v = v (x) – дифференцируемые функции.

Известно, что производная произведения двух дифференцируемых функций равна (см. Программа, методические указания и контрольные задания «МАТЕМАТИКА. Математический анализ.Часть I. Тема "Дифференциальное исчисление"»):

или

Интегрируя правую и левую части последнего равенства, получаем формулу интегрирования по частям для неопределенного интеграла:

Пример. Найти интеграл:

Решение.

Положим u = x ², sin x×dx = dv. Тогда du = dx ² = 2 xdx.

Подставляем эти значения в исходный интеграл:

Возникший интеграл не является табличным, но он несколько проще исходного, т.к. переменная х имеет меньший показатель степени.

Повторное применение интегрирования по частям приводит к табличному интегралу.

Положим теперь u = x, cos xdx = dv. Тогда du = dx.

Подставляем эти значения в исходный интеграл: