Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Экстремумы функции одной и нескольких переменных. Необходимое и достаточное условиеФункция f(x) имеет в точке х1 максимум, если ее значение в этой точке больше значений во всех точках некоторого интервала, содержащего точку х1. Функция f(x) имеет в точке х2 минимум, если f(x2 +Dx) > f(x2) при любом Dх (Dх может быть и отрицательным). Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума. Теорема. (необходимое условие существования экстремума) Если функция f(x) дифференцируема в точке х = х1 и точка х1 является точкой экстремума, то производная функции обращается в нуль в этой точке. Док-во. Предположим, что функция f(x) имеет в точке х = х1 максимум. Тогда при достаточно малых положительных Dх>0 верно неравенство: , т.е. Тогда По определению: Т.е. если Dх®0, но Dх<0, то f¢(x1) ³ 0, а если Dх®0, но Dх>0, то f¢(x1) £ 0. А возможно это только в том случае, если при Dх®0 f¢(x1) = 0. Для случая, если функция f(x) имеет в точке х2 минимум теорема доказывается аналогично. Следствие. Обратное утверждение неверно. Если производная функции в некоторой точке равна нулю, то это еще не значит, что в этой точке функция имеет экстремум. Красноречивый пример этого – функция у = х3, производная которой в точке х = 0 равна нулю, однако в этой точке функция имеет только перегиб, а не максимум или минимум. Критическими точками функции называются точки, в которых производная функции не существует или равна нулю. Рассмотренная выше теорема дает нам необходимые условия существования экстремума, но этого недостаточно. Пример: f(x) = ôxô В точке х = 0 ф имеет минимум, но не имеет производной. Пример: f(x) = В точке х = 0 ф не имеет ни максимума, ни минимума, ни производной. Вообще говоря, функция f(x) может иметь экстремум в точках, где производная не существует или равна нулю. Теорема. (Достаточные условия существования экстремума) Пусть функция f(x) непрерывна в интервале (a, b), который содержит критическую точку х1, и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, может быть, самой точки х1). Если при переходе через точку х1 слева направо производная функции f¢(x) меняет знак с “+” на “-“, то в точке х = х1 функция f(x) имеет максимум, а если производная меняет знак с “-“ на “+”- то функция имеет минимум. Док-во. Пусть По теор. Лагранжа: f(x) – f(x1) = f¢(x)(x – x1), где x<x<x1. Тогда: 1) Если х < x1, то x < x1; f¢(x)>0; f¢(x)(x – x1)<0, Þf(x) – f(x1)<0 или f(x) < f(x1). 2) Если х > x1, то x > x1; f¢(e)<0; f¢(x)(x – x1)<0, Þf(x) – f(x1)<0 или f(x) < f(x1). Т. к. ответы совпадают, то можно сказать, что f(x) < f(x1) в " т. вблизи х1, т.е. х1 – т. максимума. Док-во теоремы для т. минимума производится аналогично. Экстремумы функций многих переменных. Пусть дана функция и - внутренняя точка . Будем говорить, что функция в точке имеет локальный максимум (локальный минимум), если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство , при этом точка называется точкой локального максимума (локального минимума ), а соответствующее значение функции -максимальным (минимальным) значением функции. Локальные максимумы и минимумы объединим общим названием ²локальный экстремум². Из определения экстремума следует, что в достаточно малой окрестности точки приращение ф. D не меняет своего знака, то есть
|