Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Определенный интеграл, его геометрический смысл и свойства в и свойства определенного интеграла.Пусть на промежутке [ a; b ] задана функция f (x). Опр.: Разбиением t отрезка [a,b] назовем совокупность точек этого отрезка x 0, x 1, x 0,¼, xn, удовлетворяющие условию: a < x 1,< x 2<¼< xn -1,< b. [ x i-1; x i]–i-ый частичный отрезок i=1..n. Длину каждого частич. отр. обозн. D x i= x i-1– x i |t|=maxD x i – наз. диаметром разбиения Далее x={x1, x2,…, xn} – система произвольно выбранных точек, xiÎ[ x i-1; x i] i=1..n Составим сумму: Она назыв интегральной суммой Римана ф-ии f (x) по промежутку [ a; b ].
Каждое слагаемое интегральной суммы представляет собой площадь прямоугольника, покрытого штриховкой на рис. Опр: Û "ε>0 $δ(ε) "t на [a,b], |t|<δ "x: |σ(f,t,x)-I|<ε |
Опр.:Если $ (f,t,x)=I не зависищий от способа разбиения t отр.[a,b] и от выбора x={x1, x2,…,xn}, то этот предел наз. определенным интегралом (интеграл Римана) от ф-и f по отрезку [a,b] Геометрический смысл Рассмотрим фигуру, ограниченную графиком непрерывной, неотрицательной на промежутке [a;b] f(x), и прямыми x=a; x=b, y=0. Такую фигуру называют криволинейной трапецией. Площадь S этой трапеции определяется формулой . Если f(x)≥0 во всех т промежутка [a;b] и непрерывна на этом промежутке Теорема: Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она интегрируема на этом отрезке. Св-ва определенного инт. 1 ; Док-во: В данном случае подынтегральная функция тождественно равна 1, и поэтому, при любом разбиении τ, все интегральные суммы Римана равны , а, следовательно 2. Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b], то она интегрируема и на любом вложенном отрезке [c, d] [a, b] 3. Линейность , Док-во: Разобьем промежуток [a, b] произвольно на части и составим интегральные суммы для всех 3 интегралов. При этом т xI в каждом частичном промежутке выбираем произвольно, но для всех сумм одни и те же; тогда будем иметь: (*) пусть теперь |t|®0; т к для обеих сумм справа пределы $, то $ предел и для сумм слева, чем устанавливается интегрируемость ф. Переходя к пределам при |t|®0 получим (*) ; 4. Аддитивность интеграла. Если fÎR[a,b] и a<c<b, то:
5. ; 6. 9. 10. 7. Интегрирование неравенств. Если f(x) £ j(x) на отр [a, b] a < b, то 8. Если m и M – соот-но наименьшее и наибольшее значения ф f(x) на отр [a, b], то: ;
|