Теорема Ролля и теорема Лагранжа о конечных приращениях

Теорема Ферма: Если функция f(х) задана на (a,b) и в т. х₀Î(a,b) принимает свое мах или min значение, то при условии $ f ¢(x) Þ f ¢(x₀)=0.

Док-во: x₀,x₀+DxÎU(x₀). Пусть = = Þ x₀ – т внутр. лок. макс.

из (1) =f_{_}¢(x₀)≥0, из (2) = f₊¢(x₀)≤0, т.к. f(x)ÎD(х₀)Þ$ f¢(x₀)Þ f_-¢(x₀)= f₊¢(x₀)=0Þ f¢(x₀)=0 

Геометрический смысл теоремы Ферма состоит в том, что если в т х₀ диф-мая функция принимает наиб. или наим. значение то в т. (х₀, f(х₀)) касательная к графику функции f(x) || оси Ох.

Замечание: Теорема неверна, если функцию рассматривать на отрезке [a,b].

Пример: у=х на отрезке [0,1] в точке х=0 принимает наименьшее, а в точке х=1 – наибольшее значение, однако как в той так и в другой точке производная в нуль не обращается, а равна 1.

Теорема Ролля: Если функция f:

1) непрерывна на [a,b];

2) имеет в каждой точке интервала (a,b) конечную или определенного знака бесконечную производную;

3) принимает равные значения на концах [a,b], т. е. f(a)=f(b)

то $ по крайней мере одна точка xÎ(a,b), что f ¢(x)=0.

((f:[a,b]®R 1) fÎC[a,b]; 2) fÎD(a,b); 3) f(a)=f(b) Þ $ xÎ(a,b): f ¢(x)=0.))

Док-во: f(х) ÎC[a,b] Þ (по Т Вейерштрасса о достижимости точных граней) $x₁,x₂Î[a,b] такие, что f(x₁)=М= f(x), f(x₂)=m= f(x). Возможны 2 случая:

1)m=M Þ f(x)ºc=const и f¢(x)=0 "хÎ[a,b],

2)m<M Þ x₁ или x₂ внутр, например x= x₁Þ (по Т Ферма), имеем f ¢(x)=0.

Геометрически теорема Ролля означает, что у графика непрерывной на отрезке [a,b] и диф-мой внутри этого отрезка ф., принимающей на его концах равные значения, существует т.(с,f(c)), в которой касательная || оси Ох.

Теорема Коши: 1)ф-ии f(x) и g(x) непрерывны на [a,b] 2)диф-мы в (a,b). 3)g¢(x)¹0 "xÎ[a,b]. Þ

$cÎ(a,b): .

Док-во: Покажем сначала, что g(a)¹g(b). Если допустить что g(a)=g(b), то по теореме Ролля для функции g(х) найдется точка xÎ(a,b): g¢(x)=0. А это противоречит усл. что g¢(x)¹0.

Рассм вспомогательную ф. F(x)=f(x)-f(a)- [g(x)-g(a)]. F(a)=0, F(b)=0Þ (по Т Роля):

$с, а<с<b, такая, что F¢(с)=0 Þ F¢(с)=f ¢(с)- g¢(с)=0 Þ .†

Замечание: Эта формула называется формулой Коши или обобщенной формулой конечных приращений.

Следствие (теорема Лагранжа): 1) f(x)ÎC[a,b] 2)f(x)ÎD(a,b). Þ $cÎ(a,b):

Док-во: является частным случаем предыд. Т. при g(x)=x: g¢(x)=1; g(b)=b; g(a)=a†.

Геометрический смысл теоремы Лагранжа:

$ такая т. с, что касательная к графику в т. (с,f(с)) || секущей, проходящей через точки (а,f(а)) (b,f(b))