Равномерная непрерывность функции одной переменной. Теорема Кантора.

Опр.:Функция y=f(x) называется непрерывной в точке x=x₀, если она определена в этой точке и ее значение f(x₀) равно пределу функции в этой точке: "e>0 $d=d(e,x₀)>0 такое, что "хÎХ: |х-х₀|<d Þ |f(x)-f(x₀)|<e т.е. d зависит не только от e, но и точки, в которой рассматриваем непрерывность. Если это условие убрать, т.е. если d=d(e), то получим определение равномерной непрерывности: "e>0 $d=d(e)>0 такое, что "х₁,х₂ÎC:| х₁- х₂|<dÞ|f(x₁)-f(x₂)|<e

Опр2: Посл-ть {a_n} называется бескон. малой, если "e>0 $N=N(e)Î N:"n>N |a_n|<e, ( a_n=0).

Посл-ть {a_n} называется бескон. большой, если "e>0 $N=N(e)Î N:"n>N |a_n|<1/e, ( a_n=¥)

Теорема Кантора: Если функция f(x)ÎC[a,b] Þ она равномерно непрерывна на этом отрезке.

Док-во: (от противного).

Пусть f(x)ÎC[a,b], но f не равном-непрер на [a,b]Þ$e>0 "d>0 $a,bÎC: |a-b|<d Þ |f(a)-f(b)|³e.

Рассмотрим посл-ть d=d_n=1/n. Каждому n тогда соответствует пара точек a_n,b_n такая, что |a_n-b_n|<1/n, |f(a_n)-f(b_n)|³e. Посл-ти {a_n} и {b_n} ограничены Þ (по Т Больцано-Вейерштрасса всякая огр посл-ть содержит сх-ся подпосл-ть) ${ }®х₀ÎХ при k®¥. Далее < Þ = - б. м. посл-ть и { }®х₀ при х®¥. Но тогда f()®f(x₀), f()®f(x₀) при k®¥, т.е.|f()-f()|®0 при k®¥, но |f()-f()|³e, переходя в нер-ве к пределу при k®¥, получим 0³e, что неверно.„

Замечание: Теорема не верна, если отрезок [a,b] заменить интервалом или полуинтервалом.

Пример: f(x)=cos(p/x) xÎ(0;1]. ф непрерывна, но не равномерно непрерывна на (0;1],т.к.

$x₁=1/n,x₂=1/(2n) |x₁-x₂|=1/n®0 при n®¥ |f(x₁)-f(x₂)|=|cospn-cos2pn|=|(-1)ⁿ-1|®0 при нечетном n Þ на (0;1] эта функция не равномерно непрерывна.