Функциональный ряд. Равномерная сходимость. Свойства равномерно сходящихся рядов

Опр1: Пусть задана некоторая последовательность ф. {a_n}, xÎXÌRⁿ символ а₁(х)+а₂(х)+а₃(х)+...+а_n(х)+... наз функциональным рядом: (1)

Частичные суммы этого ряда – это посл-сть ф. , а ряд - его n-й остаток.

Ряд (1) сх-ся в т. x⁽⁰⁾ÎC, если послед-ть {S_n(x)} его частичных сумм сходится в этой точке

Если ряд (1) сх-ся в. каждой т. xÎX то говорят, что он сх-ся поточечно на мн-ве Х, при этом S(x)= S_n(x), xÎX называют суммой ряда.

Ряд(1)сх. абсолютно на Х,если на Х сх-ся ряд .

Пример.: при |x|<1 cх-ся абсолютно и S(x)=1/(1-x).

Опр2: Говорят, что ряд (1) равномерно сх-ся на мн-ве X, если на Х равномерно сходится последовательность его частичных сумм, т.е. "e>0 $ n₀Î N "хÎХ "n>n₀: |S_n(x)-S(x)|<e, где и

Очевидно что равномерно сходящийся ряд сходится просто. Пусть ряд сходится и - n-й остаток ряда. Тогда условие равномерной сходимости ряда можно записать как .

Теорема (необх. условие равн. сходимости ряда (1))

Если ряд (1) равномерно сходится на множестве Х, то последовательность его членов равномерно стремится к нулю на этом множестве.

Теорема (Коши равномерной сходимости ряда)

Для того чтобы ряд (1) равномерно сходился на множестве Х, необходимо и достаточно, чтобы для "e>0 $ n₀Î N " n₀>n, всех p=0,1,2,… и всех xÎX, выполнялось неравенство

Теорема (Признак Вейерштрасса)

Если числовой ряд сходится и для всех xÎХ и для всех n=0,1,2,… , то ряд (1) абсолютно и равномерно сходится на множестве Х.