Теорема Остроградского-Гаусса

Формула Остроградского устанавливает связь между поверхностным интегралом по замкнутой поверхности и тройным интегралом по пространственной области, ограниченной этой поверхностью

Теорема. Пусть V - простая замкнутая область, ограниченная поверхностью S и пусть функции Р (х, у, z), Q (х, у, z), и R(х, у, z) непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в данной области. Тогда имеет место следующая формула: (1) называемая формулой Остроградского.

Доказательство. Пусть область G — проекция поверхности S (и области V) на плоскость Оху, а z=z₁(x,y) и z=z₂(x,y) – уравнения соответствующих частей поверхности S - нижней части S₁, и верхней S₂. Преобразуем тройной интеграл: в поверхностный. Для этого сведем его к повторному интегралу и по формуле Ньютона—Лейбница выполним интегрирование по z. Получим: = . Так как область G является проекцией на плоскость Oxy и поверхности S₂, и поверхности S₁, то двойные интегралы можно заменить равными им поверхностными интегралами, взятыми соответственно по верхней стороне поверхности z =z₂ (х, у) и нижней стороне поверхности z=z ₁ (х, у), т. е: = . Меняя в интеграле по S₁ сторону поверхности, получаем = , где S — внешняя сторона поверхности, ограничивающей область V. Аналогично доказываются формулы = ; =

Складывая почленно эти три равенства приходим к формуле (1).

Замечание. Формула Остроградского верна для любой замкнутой пространственной области V, которую можно разбить на конечное число простых областей. В самом деле, применяя формулу (1) к каждой из областей разбиения и складывая результаты, получаем в левой части равенства тройной интеграл по всей области V, а в правой — поверхностный интеграл по поверхности S, ограничивающей область V, так как поверхностные интегралы по вспомогательным поверхностям берутся дважды по противоположным сторонам и при суммировании взаимно уничтожаются.

Применение: Вычисление объема P=x, Q=y, R=z. => V=

Утверждение:

Продолжение 12 £0 в случае локального максимума, ³0 в случае локального минимума. Для нахождения локального экстремума сформулируем необходимые и достаточные условия $ экстремума.

Теорема (Необходимые условия). Пусть функция имеет экстремум в точке .

Тогда если в этой точке все частные производные первого порядка определены, то они равны нулю: ,…, (*)

Условия (*) не являются достаточными для того, чтобы в точке был экстремум функции .

Например, для ф условия (*) выполняются в т , однако она не является точкой экстремума ф (cм.рис.). Точки координаты которых удовлетворяют системе ур-ий (*), называются стационарными точками ф . Чтобы узнать, являются ли найденные точки точками экстремума, мы должны проверить их на выполнимость достаточных условий существования экстремума. Последние удобно сформулировать в терминах квадратичной формы.

Теорема (Достаточные условия). Пусть функция дважды дифференцируема в окрестности стационарной точки и все частные производные до второго порядка включительно непрерывны в точке .

Тогда, если

1. является положительно определенной квадратичной формой, то т является точкой локального минимума;

2. является отрицательно определенной квадратичной формой, то т является точкой локального максимума;

3. является знаконеопределенной квадратичной формой, то в т экстремума нет.

4. , то экстремум в точке может быть, а может и не быть.

Сформулируем достаточные условия для функции двух переменных .

Пусть -стационарная точка функции ,

Обозначим , где

Тогда, если в этой точке

1) D>0, , то (х₀,у₀) — точка локального максимума.

2) D>0, , то (х₀,у₀) — точка локального минимума.

3) D<0, то в точке (х₀,у₀) экстремума нет.

4) D=0, то экстремум может быть, а может и не быть.

Оформим теорему в виде таблицы:

D>0	Локальный максимум	локальный минимум
D<0	нет экстремума
D=0	вопрос открытый

 

Теорема ( второе дост. условие). Пусть f(x) имеет n производных в т. x₀, причем , . Тогда:

1) Если n=2m, то f(x) имеет экстремумы в т. x₀, причем: а) f^(2m)(x₀)>0 – min; б) f^(2m)(x₀)<0 – max.

2) Если n=2m+1, то в точке x₀ экстремума нет.