Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Справедливости ради следует заметить, что очень редко ДУ сразу дается в симметрической форме с разделенными переменными. Рассмотрим уравнения, которые можно привести к такому виду. Пусть ДУ приведено к симметрической форме . В нем можно разделить переменные, если выражения и можно представить в виде произведения двух сомножителей, каждое из которых зависит или только от х или только от у, т.е. , . Новый вид уравнения . Для разделения переменных нужно обе части уравнения поделить (или умножить) на те сомножители, которые «мешают».
Пример 17. Решить уравнение Решение. Сначала преобразуем уравнение так, чтобы символы и присутствовали по одному разу: Þ . Теперь представим в виде произведений выражения перед и : Разделим переменные: Проинтегрируем: Þ Þ Þ Þ Полученное уравнение уже является общим решением дифференциального уравнения или иначе общим интегралом. В принципе можно считать уравнение решенным. Однако, решение очень громоздкое. Его можно упростить. Во всех дальнейших преобразованиях нам понадобится один искусственный прием переобозначения константы С. Как известно, константа С пробегает все значения от до и неважно каким способом. Поэтому зададим нужный нам способ изменения С. В данном конкретном примере выгодно заменить С на , где . В дальнейшем замену константы С на другой вид будем обозначать символом . Для преобразований используем свойства логарифмов. Þ Þ . Последнее уравнение является более компактной формой общего интеграла. На этом решение дифференциального уравнения можно закончить. Ответ. Общий интеграл дифференциального уравнения имеет вид .
Замечание. В примере 2 не сказано конкретно, что нужно найти – общий интеграл или общее решение. Если общий интеграл, то пример 2 решен до конца. Если же подразумевалось общее решение, то тогда из уравнения нужно выразить у через х явно. Þ . Каждая из полученных функций является общим решением дифференциального уравнения.
Разберем, как решать уравнение с разделяющимися переменными, заданное не в симметрической форме, а в виде . Первое, что нужно сделать – это перейти к симметрической форме, заменив символ на Пример 18. Найти общий интеграл дифференциального уравнения . Решение. Перейдем к симметрической форме, используя равенство : Þ . Разделим переменные: Þ Проинтегрируем полученное уравнение: Þ Þ . Последнее уравнение является общим интегралом дифференциального уравнения. Ответ: Общий интеграл дифференциального уравнения .
|