Дифференциальные уравнения с разделенными переменными

Традиционно изложение методов решения дифференциальных уравнений начинается с уравнений с разделенными переменными. Это обязательно уравнение в симметрической форме, у которого выражение, стоящее перед символом , зависит только от переменной , а выражение, стоящее перед , зависит только от переменной (слово «разделить» здесь означает не арифметическую операцию деления, а процедуру отделения выражений, содержащих только х от выражений, содержащих только у).

Уравнение с разделенными переменными имеет вид

.

Перенесем в правую часть слагаемое, содержащее . Получим уравнение . Выражения слева и справа рассматриваем как дифференциалы двух неизвестных функций, каждая из которых зависит только от одной переменной, а именно , а . Если дифференциалы функций равны, то сами функции могут отличаться только на константу. Следовательно, , где - некоторая константа. Как найти функции и ? Да очень просто. -- это какая - либо первообразная для функции , а -- какая - либо первообразная для функции .

Прежде чем рассматривать пример, оговорим одну «вольность», допустимую при решении дифференциального уравнения с разделенными переменными. Пусть уравнение приведено к виду . «Вольность» заключается в том, что можно не переносить слагаемое с переменной у вправо, а сразу взять неопределенные интегралы от всех трех элементов уравнения, а именно . При этом неважно по какой переменной вы возьмете интеграл от нуля: по х или по . Он все равно будет равен константе С.

Подчеркнем конструктивные особенности дифференциального уравнения в симметрической форме:

1. символы и в уравнении должны присутствовать по одному разу;

2. символы и не должны стоять в знаменателе;

3. неважно, в каком порядке следуют слагаемые с и ;

4. лучше, если символы и будут стоять в конце выражений.

Пример16. Найти общий интеграл дифференциального уравнения

.

Решение. Очевидно, что наше уравнение содержит два слагаемых с символом . Это нужно исправить. Перенесем, например, выражение влево, сгруппируем слагаемые с и вынесем символ за скобку, но лучше назад, а не вперед.

Þ Þ

Проинтегрируем его: . В результате получим уравнение . Очевидно, что переменные х и у входят в это уравнение вперемешку. Переменная у не выражена явно как функция переменной х. Поэтому это уравнение является общим интегралом дифференциального уравнения. Получение этого уравнения можно считать концом решения.

Ответ. Общий интеграл дифференциального уравнения .

Замечание. Если бы в примере 1 требовалось найти общее решение дифференциального уравнения, то получение уравнения не являлось бы концом решения. Для получения общего решения в явном виде нужно из уравнения выразить : .