Методы вычисления определенного интеграла

Следует подчеркнуть, что с технической точки зрения вычисление определенного интеграла мало чем отличается от вычисления неопределенного интеграла. Поэтому для нахождения первообразной используем все методы, описанные ранее для неопределенного интеграла.

Пример 12. Вычислить определенный интеграл . Результат записать в виде десятичной дроби с двумя знаками после запятой.

Решение. Найдем сначала неопределенный интеграл , используя метод подведения под знак дифференциала:

.

Вернемся к определенному интегралу. Для использования формулы Ньютона-Лейбница достаточно знать какую-то одну конкретную первообразную . Для простоты выберем ту, которая получается из неопределенного интеграла при , т.е. . Тогда

Ответ.

Замечание. Этот интеграл можно найти и с помощью замены переменной. Подчеркнем, что в определенном интеграле необязательно возвращаться к старой переменной . Для этого достаточно пересчитать пределы интегрирования для новой переменной. Решим таким образом предыдущий пример.

Пример 13. Вычислить определенный интеграл .

Решение.

Сведения из теории

Формула интегрирования по частям для определенного интеграла имеет вид

Пример 14. Вычислить определенный интеграл . Результат записать в виде десятичной дроби с двумя знаками после запятой.

Решение. Подынтегральная функция является отношением двух разнотипных функций, поэтому определенный интеграл от нее можно взять только по частям.